Kezdőlap


Feladat:	4239. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kaposvári István , Szabó Attila
Füzet:	2010/december, 559 - 560. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Fermat-elv
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/március: 4239. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen $x$ az a távolság, amit a traktor az 1100 méteres oldallal párhuzamos irányban megtesz a szántón, mialatt a két terület határvonalának $C$ pontjához ér (1. ábra). Az $A$ pontból akkor jut a legrövidebb idő alatt $C$ -be, ha a legrövidebb úton, vagyis egyenesen halad, hiszen a sebessége itt állandó. Hasonlóan $C$ és $B$ között is az egyenes út biztosítja a legrövidebb időt.

1. ábra

A megtett utak (minden távolságot m egységben mérve):

\begin{matrix} s_{1} = \sqrt[]{x^{2} + 400^{2}} és s_{2} = \sqrt[]{{(1100 - x)}^{2} + 600^{2}}, \end{matrix}

a teljes út megtételéhez szükséges idő pedig

\begin{matrix} t = \frac{s_{1}}{v_{szántó}} + \frac{s_{2}}{v_{rét}}, \end{matrix}

ami a sebességek arányának ismert értékét felhasználva

\begin{matrix} t = \frac{4 s_{1} + 3 s_{2}}{3 v_{rét}} \end{matrix}

alakba is írható. Ez az idő akkor minimális, ha a számlálója, vagyis

\begin{matrix} f (x) = 4 \sqrt[]{x^{2} + 400^{2}} + 3 \sqrt[]{{(1100 - x)}^{2} + 600^{2}} \end{matrix}

minimális.
A minimumot numerikusan (a függvény elegendően sűrű, pontonkénti kiszámításával), vagy számítógépes grafikus ábrázolással, esetleg

x

szerinti deriválással kaphatjuk meg. (A derivált eltűnésének feltétele negyedfokú egyenletre vezet, ennek megoldása is numerikus eljárást igényel.)

Megjegyzés. A feladat felfogható optikai problémaként is. A Fermat-elv szerint a fény ‐ geometriai optikai leírásban ‐ olyan útvonalon halad, amely az adott kezdő- és végpont között a legrövidebb terjedési időnek felel meg. A feladatban megadott sebességarány az optikai problémában a két közeg relatív törésmutatóját határozza meg. A fénysugár útja ‐ és ebből az eredeti probléma megoldása ‐ az ismert törési törvényből kapható meg, méghozzá a deriválás elkerülésével.

II. megoldás. Nyilvánvaló, hogy a szántón is és a réten is egyenes vonalon érdemes haladni. A keresett útvonal emiatt egy töröttvonal, amely a szántó és a rét határvonalán törik meg. Ezt a töréspontot keressük meg.
Gondolatban rögzítsünk egy erős rudat a szántó és a rét határán. Helyezzünk a rúdra egy súrlódásmentesen csúszó gyűrűt, és kössünk két kötelet is a gyűrűhöz. A kötelek másik végére erősítsünk egy

m

és egy

0, 75 m

tömegű testet. Az

A

és

B

pontoknál ássunk egy-egy (elegendően mély) gödröt. A nehezebb testet engedjük (egy ideális állócsiga segítségével) az

A

pontnál levő gödörbe, a könnyebbet pedig a

B

pontnál levő gödörbe. Megmutatjuk, hogy a rendszer egyensúlyi helyzetében a kötél vonala megegyezik a traktor számára optimális (legrövidebb idejű) útvonallal.
A rendszer akkor van statikus egyensúlyban, ha a helyzeti energiája a lehető legkisebb. Itt a két test gravitációs potenciális energiája a rendszer helyzeti energiája, ezt kell minimalizálni. Ha a kötelek hossza

ℓ

, a szántó felett húzódó kötélszakasz hossza

s_{1}

, a rét fölöttié pedig

s_{2}

, a helyzeti energia:

\begin{matrix} - m g (ℓ - s_{1}) - 0, 75 m g (ℓ - s_{2}) = - 1, 75 m g ℓ + m g s_{1} + 0,75 m g s_{2} . \end{matrix}

Ez akkor minimális, ha

s_{1} + 0,75 s_{2}

is az. Ez pedig akkor, ha

\frac{1}{v_{szántó}}

-szorosa:

\begin{matrix} \frac{s_{1}}{v_{szántó}} + \frac{s_{2}}{\frac{4}{3} v_{szántó}} = \frac{s_{1}}{v_{szántó}} + \frac{s_{2}}{v_{rét}} \end{matrix}

is minimális. Könnyen látható, hogy a fenti kifejezés éppen a traktor mozgásának ideje. Ha tehát a kötél a traktor számára optimális útvonalon helyezkedik el, a rendszer potenciális energiája minimális, vagyis a rendszer nyugalomban marad.
Egyensúlyi állapotban a gyűrűre nem hat rúd irányú erő, ettől ugyanis elmozdulna. A kötelekben ébredő erő

m g

és

0, 75 m g

. Ezeknek rúd irányú komponensei kiegyenlítik egymást, nagyságuk egyenlő kell legyen. Legyen az

A

pontból induló kötélnek a rúdra állított merőlegessel bezárt szöge

α

, a

B

-ből indulóé pedig

β

(2. ábra). Az egyes kötelek által kifejtett rúd irányú erő:

m g sin α

és

0, 75 m g sin β

. Egyensúly esetén ezek egyenlők, amiből

\begin{matrix} \frac{sin α}{sin β} = 0, 75. \end{matrix}

2. ábra

Ilyen tulajdonságú pont csak egy van (hiszen a gyűrűt valamelyik irányban mozgatva az egyik kötélerő rúd irányú komponense monoton csökken, a másiké pedig monoton nő). Találgatással, vagy módszeres kereséssel megkapható, hogy amikor a gyűrű a rúd

A

-hoz közelebbi végétől 300 méterre helyezkedik el,

\begin{matrix} sin α = \frac{300}{\sqrt[]{300^{2} + 400^{2}}} = \frac{300}{500} = 0, 6 és sin β = \frac{800}{\sqrt[]{600^{2} + 800^{2}}} = \frac{800}{1000} = 0, 8, \end{matrix}

ebben a helyzetben tehát valóban teljesül az egyensúlyi feltétel.
Az optimális útvonal ezek szerint a következő: a traktor egyenesen kell haladjon az

A

pontból a szántó és a rét határvonalára, annak

A

-hoz közelebbi végétől 300 méterre levő pontjába. Innen menjen egyenesen a

B

pontba. Ez a leggyorsabban megtehető út.