Kezdőlap


Feladat:	4256. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Zsíros Ádám
Füzet:	2010/november, 503 - 505. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Hooke-törvény
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/május: 4256. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Egy gumiszálat (a végeinél fogva) nem lehet a feszítetlen hosszánál rövidebbre összenyomni, mivel összenyomása során elhajlik. Emiatt a feladatban szereplő szál jobb oldali, eredetileg $b$ hosszúságú része csak addig fejt ki erőt, amíg a $C$ pont elmozdulása el nem éri a szál feszítetlen hosszának megfelelő értéket. Az, hogy ez a helyzet mikor következik be, függ a szál kezdeti feszítettségétől; erről azonban a feladat szövege nem tartalmaz információt. Emiatt csak két szélsőséges esetre vizsgáltam a feladatot.
I. határeset. Tételezzük fel, hogy a két fal között ,,kifeszített'' gumiszál éppen csak feszes, tehát a jobb oldali része a $C$ pont legkisebb elmozdulására meglazul. Ilyen esetben csak az $a$ hosszúságú gumidarabbal kell foglalkoznunk, a másik rész nem játszik szerepet.
$a)$ Egy rugalmas szál ,,rugóállandója'' fordítottan arányos a szál hosszával (hiszen egy rövidebb szál ugyanakkora erő hatására arányosan kevesebbet nyúlik meg, mint a hosszabb párja). Ennek megfelelően az $a$ hosszúságú száldarab egy

\begin{matrix} D^{*} = \frac{a + b}{a} \cdot D = \frac{5}{4} D = 1, 25 \frac{N}{cm} \end{matrix}

rugóállandójú rugóval helyettesíthető, és ez

F

rugóerő hatására

\begin{matrix} Δ ℓ = \frac{F}{D^{*}} = 4 cm \end{matrix}

értékkel nyúlik meg.

b)

Hasson az

F

erő a szál azon

C'

pontjánál, amely a falaktól

a'

, illetve

b'

távolságra van. Minél nagyobb

a'

, annál kisebb a bal oldali száldarabnak megfelelő rugóállandó. A megnyúlás (adott nagyságú erő hatására) akkor lesz a legnagyobb, amikor a

\begin{matrix} D^{*} = \frac{a' + b'}{a'} \cdot D = \frac{50 cm}{a'} \cdot 1 \frac{N}{cm} = \frac{50 N}{a'} \end{matrix}

rugóállandó a legkisebb, vagyis amikor

a'

a lehető legnagyobb. Vegyük figyelembe még azt is, hogy két fal közé tettük a gumiszálat, emiatt a bal oldali részének megnyúlása legfeljebb a

C'

pont és a jobb oldali fal távolsága, azaz

b'

lehet. Határesetben

\begin{matrix} F = D^{*} b', \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 5 N = \frac{50 N}{a'} b', tehát a' = 10 b' . \end{matrix}

Innen kapjuk (kihasználva, hogy

a' + b' = 50 cm

\begin{matrix} a' = \frac{10}{11} \cdot 50 cm \approx 45, 5 cm és b' = \frac{1}{11} \cdot 50 cm \approx 4, 5 cm . \end{matrix}

C'

pont legnagyobb elmozdulása tehát 4,5 cm lehet.

II. határeset. Ha a gumiszál annyira feszes, hogy a jobb oldali része a

C

pont elmozdulása után sem lazul meg, akkor a gumiszál két része egy-egy ,,húzó-nyomó'' rugóval helyettesíthető.

a)

A megfelelő rugóállandók:

\begin{matrix} D_{a} = \frac{a + b}{a} \cdot D = \frac{50}{40} D = 1, 25 \frac{N}{cm}, D_{b} = \frac{a + b}{b} \cdot D = \frac{50}{10} D = 5 \frac{N}{cm}, \end{matrix}

a két ,,sorbakapcsolt'' rugó eredő rugóállandója pedig

\begin{matrix} D^{*} = D_{a} + D_{b} = 6, 25 \frac{N}{cm} . \end{matrix}

Ennek megfelelően a megadott erő hatására a

C

pont elmozdulása 0,8 cm lesz.

b)

Ha a falaktól

a'

, illetve

b' = 50 cm - a'

távolságra levő

C'

pontban fejtjük ki az

F

erőt, a gumiszálnak megfelelő rugóállandó

\begin{matrix} D^{*} = D_{a'} + D_{b'} = \frac{a' + b'}{a'} \cdot D + \frac{a' + b'}{b'} \cdot D = \frac{D {(a' + b')}^{2}}{a' b'} . \end{matrix}

C'

pont elmozdulása

\begin{matrix} Δ ℓ = \frac{F}{D^{*}} = \frac{a' b'}{500 cm}, \end{matrix}

ami akkor a legnagyobb, amikor

a' b'

maximális értékét veszi fel. Felhasználva a számtani és mértani közepekre vonatkozó

\begin{matrix} \sqrt[]{a' b'} \leq \frac{a' + b'}{2} \end{matrix}

egyenlőtlenséget az elmozdulás legnagyobb értékére

\begin{matrix} Δ ℓ_{max} = \frac{25 cm \cdot 25 cm}{500 cm} = 1, 25 cm \end{matrix}

adódik. Ekkora elmozdulást

a' = b' = 25

cm esetén tudunk létrehozni, vagyis úgy, hogy éppen a gumiszál közepén fejtjük ki az

F

erőt.