Kezdőlap


Feladat:	4255. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fonai Dávid , Szabó Attila
Füzet:	2010/november, 501 - 503. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Súrlódás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/május: 4255. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a testet megmozdítani képes legkisebb erő maximális nagyságát $F$ -fel, a vízszintessel bezárt szögét pedig $α$ -val (1. ábra)! Akkor leszünk képesek a test megmozdítására, ha a húzóerő vízszintes vetülete meghaladja a tapadó súrlódási erő nagyságát:

\begin{matrix} F cos α \geq S = μ N, \end{matrix}

ahol

N

a test által az asztalra kifejtett nyomóerő. Ezt a kényszererőt a függőleges erőkomponensek egyensúlyi feltételéből számolhatjuk ki:

\begin{matrix} N = m g - F sin α . \end{matrix}

A fenti két összefüggésből:

\begin{matrix} F cos α + F μ sin α \geq m g μ, \end{matrix}

ami algebrai átalakítások után így is írható:

\begin{matrix} \frac{μ}{\sqrt[]{1 + μ^{2}}} sin α + \frac{1}{\sqrt[]{1 + μ^{2}}} cos α \geq \frac{m g}{F} \frac{μ}{\sqrt[]{1 + μ^{2}}} . \end{matrix}

(1)

Azért célszerű ilyen alakra hozni a vizsgált egyenlőtlenséget, mert a bal oldalon szereplő szögfüggvények együtthatóinak négyzetösszege 1, tehát ezek a mennyiségek kifejezhetők egy alkalmasan választott

ε

hegyesszög megfelelő szögfüggvényeivel:

\begin{matrix} \frac{μ}{\sqrt[]{1 + μ^{2}}} = sin ε, \frac{1}{\sqrt[]{1 + μ^{2}}} = cos ε . \end{matrix}

1. ábra

Megjegyzés. A

ε

szöget súrlódási határszögnek nevezik; ennél meredekebb lejtőn nem maradhat nyugalomban az adott tapadó súrlódással jellemezhető test. A súrlódási határszög és a súrlódási együttható közötti összefüggést

μ = tg ε

alakban is felírhatjuk.

Ezzel a jelöléssel (1) így írható:

\begin{matrix} sin ε sin α + cos ε cos α \geq \frac{m g}{F} \frac{μ}{\sqrt[]{1 + μ^{2}}}, \end{matrix}

ahonnan a koszinusz függvény addíciós képletének felhasználásával adódik:

\begin{matrix} 1 \geq cos (α - ε) \geq \frac{m g}{F} \frac{μ}{\sqrt[]{1 + μ^{2}}} . \end{matrix}

Ebből a test megmozdításához szükséges húzóerőt kifejezve:

\begin{matrix} F \geq F_{{min}_{}^{}} = m g \frac{μ}{\sqrt[]{1 + μ^{2}}} . \end{matrix}

Az egyenlőség határesete akkor teljesül, ha

α = ε

, vagyis éppen a súrlódási határszögnek megfelelő irányban húzzuk a testet. Megjegyezzük, hogy legkisebb mozgatóerő a határszög segítségével

F_{{min}_{}^{}} = m g sin ε

módon is kifejezhető.

II. megoldás. Az I. megoldás gondolatmenetét és jelöléseit követve eljutunk odáig, hogy a test megmozdításához szükséges erő:

\begin{matrix} F \geq \frac{m g μ}{cos α + μ sin α} . \end{matrix}

(2)

A legkisebb húzóerő (2) jobb oldalának minimumánál valósulhat meg. A számláló konstans, így a tört minimuma a nevező maximumához kötődik. Ez akkor teljesül, ha a derivált nulla:

- sin α + μ cos α = 0

, amiből

tg α = μ

. Ezt beírva

F

kifejezésébe,

F_{{min}_{}^{}} = m g sin α

adódik, amit

μ = tg α

segítségével kifejezve

\begin{matrix} F_{{min}_{}^{}} = m g \frac{μ}{\sqrt[]{1 + μ^{2}}} . \end{matrix}

Ekkora és ilyen irányú erő kell a test elhúzásához.

III. megoldás. A feladatot megoldhatjuk szerkesztéssel is. A megcsúszás határhelyzetében a testre ható erők vektori összege még éppen nulla:

\begin{matrix} F + m g + (N+S) = 0, \end{matrix}

ahol

m g

a nehézségi erő,

F

a keresett húzóerő,

N + S

pedig a talaj által a testre kifejtett nyomóerő és súrlódási erő eredője. Az erőegyensúlyt zárt vektorsokszöggel ábrázolhatjuk (2. ábra). Az ábrán azt is figyelembe vettük, hogy határesetben (a megcsúszás pillanatában) a nyomóerő és a súrlódási erő eredőjének a szürkén jelölt,

ε

félnyílásszögű kúp palástjára kell esnie, hiszen ekkor teljesül a

\begin{matrix} \frac{| S |}{| N |} = μ = tg ε \end{matrix}

feltétel.

2. ábra

A fenti feltételeknek eleget tevő húzóerők közül az a legkisebb, amelyik merőleges a kúp valamelyik alkotójára (3. ábra). Az ábráról leolvashatjuk, hogy a minimális húzóerő nagysága

\begin{matrix} F_{{min}_{}^{}} = m g sin ε = m g \frac{μ}{\sqrt[]{1 + μ^{2}}}, \end{matrix}

iránya pedig a vízszintessel éppen a súrlódási határszöggel megegyező szöget zár be.

3. ábra