Kezdőlap


Feladat:	4252. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kungl Ákos Ferenc , Laczkó Zoltán Balázs , Lőrincz Dóra , Patartics Bálint , Varju Tamás , Várnai Péter , Zsámboki Richárd
Füzet:	2010/november, 498 - 500. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, A szem
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/április: 4252. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ Az erősen rövidlátó ember szemüvege $D = - 12 m^{- 1}$ dioptriás, a lencse fókusztávolsága tehát $f_{1} = - \frac{1}{12}$ m. A szemüveg lencséje $d = 2 cm = 0, 02$ m távolságra van a szemlencsétől. A szemlencse és a retina távolságát jelöljük $x$ -szel! (Ennek tipikus nagysága szakkönyvekből vagy az internetről elvben hozzáférhető adat, de ‐ mint látni fogjuk ‐ a konkrét számértékre nem lesz szükségünk.)
A tárgyakat akkor látja élesen az ember, ha azok a szemüvegétől

\begin{matrix} t_{1} = 25 cm = 0, 25 m \end{matrix}

távolságra vannak. A

T

nagyságú tárgyról először a szemüveg szórólencséje alkot látszólagos,

K_{1}

nagyságú képet, majd a szemlencse erről egy valódi,

K_{2}

nagyságú képet hoz létre a retinán (1. ábra).

1. ábra

\begin{matrix} \frac{1}{f_{1}} = \frac{1}{t_{1}} + \frac{1}{k_{1}}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} k_{1} = \frac{t_{1} f_{1}}{t_{1} - f_{1}} = - 0, 0625 m. \end{matrix}

Ez a virtuális kép a szemüveglencsétől 6,25 cm-re (a negatív előjel szerint a tárgy oldalán) jön létre, a rövidlátó ember szemlencséjétől tehát

\begin{matrix} t_{2} = | k_{1} | + d = 0, 0825 m \end{matrix}

távolságban található. A szemlencse által alkotott kép éles, tehát a retinán keletkezik, a képtávolság

k_{2} = x

.
Egy lencse nagyítása (a kép és a tárgy nagyságának hányadosa) felírható a képtávolság és a tárgytávolság hányadosaként. Eszerint a szemüveg lencséjének nagyítása

\begin{matrix} N_{1} = \frac{K_{1}}{T_{1}} = \frac{| k_{1} |}{t_{1}} = \frac{0, 0625 m}{0, 25 m} = 0, 25. \end{matrix}

Hasonló módon számolható a szemlencse nagyítása:

\begin{matrix} N_{2} = \frac{k_{2}}{t_{2}} = \frac{x}{0, 0825 m} \end{matrix}

és a két lencséből (a szemüvegből és a szemlencséből) álló rendszer együttes nagyítása is:

\begin{matrix} N_{eredeti} = N_{1} \cdot N_{2} = \frac{x}{0, 33 m} . \end{matrix}

A műtét után az ember szemétől

t =

0,25 m-re levő tárgyakat látja élesen, és mivel a kép a retinán, a szemlencsétől

x

távolságban keletkezik (2. ábra), a beültetett műanyag lencse nagyítása

\begin{matrix} N_{műtét után} = \frac{x}{0, 25 m} . \end{matrix}

Ez az eredeti nagyításnál

\frac{0, 33}{0, 25} = 1, 32

-ször nagyobb. A műtét után tehát kb. 30 százalékkal nagyobbnak látja a betűket, mint szemüveges korában.

2. ábra

b)

Ahhoz, hogy a ‐ még mindig rövidlátó ‐ ember a Holdat élesen lássa, szórólencsére van szüksége. A szórólencse dioptriáját úgy kell megválasztani, hogy a szemüveglencse a Holdról éppen az éleslátás síkjában, a szemlencsétől 25 cm távolságra alkosson képet. Feltételezzük, hogy a szemüveg lencséje most is

d = 2

cm távolságra lesz a szemétől, hiszen a műtét előtt is ott hordta. Tehát a szemüveglencsének úgy kell leképeznie a Holdat, hogy a képtávolság abszolút értéke 0,23 m legyen.
Mivel a szórólencse látszólagos képet alkot a Holdról, ezért a képtávolság negatív,

k = - 0, 23

m. A Hold többszázezer kilométerre van a Földtől, tehát az onnan érkező (gyakorlatilag párhuzamos) fénysugarak a fókuszsíkban alkotnak (virtuális) képet; a képtávolság jó közelítéssel egyenlő a fókusztávolsággal. A lencse fókusztávolsága

f \approx k = - 0, 23

m, vagyis a dioptriája

\begin{matrix} D = \frac{1}{f} = - 4, 3 \frac{1}{m} . \end{matrix}

Tehát a rövidlátó embernek

- 4, 3

dioptriás szemüvegre van szüksége ahhoz, hogy élesen lássa a Holdat, vagy bármilyen más, elegendően távoli tárgyat.