Kezdőlap


Feladat:	4251. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kaposvári István
Füzet:	2010/november, 497 - 498. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Tömegpont egyensúlya, Coulomb-törvény
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/április: 4251. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ A kötelek szabályos háromszöget alkotnak, ezért egymással $60^{\circ}$ -os, a függőlegessel $30^{\circ}$ -os szöget zárnak be (1. ábra). Az

\begin{matrix} F = k \frac{Q^{2}}{L^{2}} \end{matrix}

nagyságú Coulomb-erő és az

m g

nagyságú nehézségi erő eredője is

30^{\circ}

-os szöget zár be a függőlegessel, tehát fennáll

\begin{matrix} \frac{k \frac{Q^{2}}{L^{2}}}{m g} = tg 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt[]{3}} . \end{matrix}

Innen a keresett tömeg:

\begin{matrix} m = \sqrt[]{3} \frac{k Q^{2}}{g L^{2}} . \end{matrix}

(1)

1. ábra

b)

Vizsgáljuk az egész rendszer, illetve külön-külön az egyes golyók egyensúlyát! Célszerű az egyensúly feltételét a felfüggesztési pontra vonatkoztatott forgatónyomatékok segítségével megfogalmazni, mert így sem a fonálerőkkel, sem a felfüggesztésnél ható erővel nem kell törődnünk, ezek forgatónyomatéka nyilván nulla.
A nehézségi erők forgatónyomatéka egész rendszerre nulla, tehát (a 2. ábra jelöléseivel)

y \cdot m g = x \cdot 3 m g

, azaz

y = L cos α = 3 x = 3 L cos β

, vagyis

\begin{matrix} cos (120^{\circ} - β) = 3 cos β . \end{matrix}

(2)

(Kihasználtuk, hogy az elfordult háromszög is egyenlőoldalú, emiatt

α + β = 60^{\circ}

.) Trigonometrikus átalakítások után (2)-ből kapjuk, hogy

\begin{matrix} cos 120^{\circ} \cdot cos β + sin 120^{\circ} \cdot sin β = 3 cos β, \\ - \frac{1}{2} cos β + \frac{\sqrt[]{3}}{2} sin β = 3 cos β, \\ tg β = \frac{7}{\sqrt[]{3}}, azaz β \approx 76, 1^{\circ} . & (3) \end{matrix}

2. ábra

Írjuk most fel a jobb oldali test egyensúlyának feltételét a forgatónyomatékokkal megfogalmazva! Az

\begin{matrix} F = k \frac{Q Q'}{L^{2}} \end{matrix}

nagyságú Coulomb-erő erőkarja

L cos 30^{\circ} = L \sqrt[]{3} / 2

, így

\begin{matrix} x \cdot 3 m g = \frac{L \sqrt[]{3}}{2} \cdot k \frac{Q Q'}{L^{2}} . \end{matrix}

Innen az

m

tömeg (1)-ben megadott értékét behelyettesítve, továbbá kihasználva, hogy

\begin{matrix} x = L cos β = L \frac{1}{\sqrt[]{1 + tg^{2} β}} = L \sqrt[]{\frac{3}{52}}, \end{matrix}

az egyensúly feltétele:

\begin{matrix} L \sqrt[]{\frac{3}{52}} \cdot 3 g \cdot \sqrt[]{3} \frac{k Q^{2}}{g L^{2}} = \frac{L \sqrt[]{3}}{2} \cdot k \frac{Q Q'}{L^{2}}, \end{matrix}

ahonnan a kérdezett töltés:

\begin{matrix} Q' = \frac{3 \sqrt[]{3}}{\sqrt[]{13}} Q \approx 1, 44 Q . \end{matrix}