Kezdőlap


Feladat:	4247. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Béres Bertold
Füzet:	2010/november, 495. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Szabadesés
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/április: 4247. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A $h$ magasságból kezdősebesség nélkül eső test

\begin{matrix} t_{1} = \sqrt[]{\frac{2 h}{g}} \end{matrix}

idő alatt ér lejtőre, és ezalatt

\begin{matrix} v = \sqrt[]{2 g h} \end{matrix}

sebességre gyorsul.
Súrlódás hiányában a lejtő a nekiütköző testre csak a lejtő síkjára merőleges irányú nyomóerőt tud kifejteni. Emiatt a teljesen rugalmatlan ütközés során a kisméretű test sebességének csak a lejtőre merőleges komponense válik nullává, a lejtővel párhuzamos

\begin{matrix} v_{0} = v sin α = \sqrt[]{2 g h} sin α \end{matrix}

megmarad.
A továbbiakban a test egyenletesen gyorsulva,

a = g sin α

gyorsulással mozog a lejtőn. A megtett útra és a mozgás idejére felírható a következő összefüggés:

\begin{matrix} h = v_{0} t_{2} + \frac{a}{2} t_{2}^{2}, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} t_{2} & = \frac{\sqrt[]{v_{0}^{2} + 2 a h} - v_{0}}{a} = \frac{\sqrt[]{2 g h {(sin α)}^{2} + 2 g h sin α} - sin α \sqrt[]{2 g h}}{g sin α} = \\ = \sqrt[]{\frac{2 h}{g}} (\sqrt[]{\frac{1}{sin α} + 1} - 1) . \end{matrix}

A keresett időarány értéke tehát

\begin{matrix} \frac{t_{1}}{t_{2}} & = \frac{1}{\sqrt[]{\frac{1}{sin α} + 1} - 1} = sin α (\sqrt[]{\frac{1}{sin α} + 1} + 1) = sin 30^{\circ} (\sqrt[]{\frac{1}{sin 30^{\circ}} + 1} + 1) = \\ = \frac{1 + \sqrt[]{3}}{2} \approx 1, 37. \end{matrix}