Kezdőlap


Feladat:	3927. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Borbély Adrienn
Füzet:	2007/május, 308 - 309. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Newton-féle gravitációs erő, Holdak, Tömegpont dinamikája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/november: 3927. fizika feladat

Egy bolygó körül két kisméretű hold kering. Az egyik hold keringési ideje 24 óra, a másiké 81 óra. A második hold két és félszer messzebb van a bolygó felszínétől, mint az első. Mekkora a bolygó anyagának átlagos sűrűsége? (A holdak körpályán keringenek.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a bolygó sugarát $R$ -rel, tömegét $M$ -mel, a közelebbi hold és a bolygó felszínének távolságát pedig $x$ -szel! Kepler III. törvénye szerint

\begin{matrix} \frac{T_{1}^{2}}{R_{1}^{3}} = \frac{T_{2}^{2}}{R_{2}^{3}}, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} R_{1} = R + x, illetve R_{2} = R + 2, 5 x, \end{matrix}

T_{1}

és

T_{2}

pedig a megadott keringési idők. Innen

\begin{matrix} \frac{R + 2, 5 x}{R + x} = {(\frac{81}{24})}^{2 / 3} = 2, 25; \end{matrix}

vagyis

x = 5 R

.
Írjuk fel a Newton-féle mozgásegyenletet a közelebbi holdra:

\begin{matrix} \frac{γ M}{{(R + x)}^{2}} = (R + x) {(\frac{2 π}{T_{1}^{2}})}^{2}, \end{matrix}

ahonnan

x

fentebbi értékét behelyettesítve

\begin{matrix} \frac{γ M}{{(6 R)}^{3}} = {(\frac{2 π}{86 400 s})}^{2} \end{matrix}

adódik. Innen a bolygó anyagának átlagos sűrűsége:

\begin{matrix} ϱ = \frac{M}{\frac{4}{3} R^{3} π} = \frac{6^{3}}{γ} {(\frac{2 π}{86 400 s})}^{2} \frac{3}{4 π} \approx 4087 \frac{kg}{m^{3}} . \end{matrix}