Feladat: 3927. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Borbély Adrienn 
Füzet: 2007/május, 308 - 309. oldal  PDF file
Témakör(ök): Newton-féle gravitációs erő, Holdak, Tömegpont dinamikája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/november: 3927. fizika feladat

Egy bolygó körül két kisméretű hold kering. Az egyik hold keringési ideje 24 óra, a másiké 81 óra. A második hold két és félszer messzebb van a bolygó felszínétől, mint az első. Mekkora a bolygó anyagának átlagos sűrűsége? (A holdak körpályán keringenek.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a bolygó sugarát R-rel, tömegét M-mel, a közelebbi hold és a bolygó felszínének távolságát pedig x-szel! Kepler III. törvénye szerint

T12R13=T22R23,
ahol
R1=R+x,illetveR2=R+2,5x,
T1 és T2 pedig a megadott keringési idők. Innen
R+2,5xR+x=(8124)2/3=2,25;
vagyis x=5R.
Írjuk fel a Newton-féle mozgásegyenletet a közelebbi holdra:
γM(R+x)2=(R+x)(2πT12)2,
ahonnan x fentebbi értékét behelyettesítve
γM(6R)3=(2π86400s)2
adódik. Innen a bolygó anyagának átlagos sűrűsége:
ϱ=M43R3π=63γ(2π86400s)234π4087kgm3.