Kezdőlap


Feladat:	3921. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Lovas Lia Izabella
Füzet:	2007/április, 246 - 249. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Töltött részecskék mozgása elektromos és mágneses mezőkben, Mágneses indukcióvektor (B), Relativisztikus impulzus, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/október: 3921. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A $v$ sebességgel mozgó $m$ tömegű, $e$ töltésű elektront az $e B v$ Lorentz-erő tartja $r$ sugarú körpályán. Ha a newtoni fizika (nemrelativisztikus) törvényeit alkalmazzuk, az

\begin{matrix} e B v = \frac{m v^{2}}{r} \end{matrix}

(1)

mozgásegyenletet írhatjuk fel. Mivel az elektron sebessége és a mozgási energiája közötti kapcsolatot az

\begin{matrix} E_{m} = \frac{1}{2} m v^{2}, azaz v = \sqrt[]{\frac{2 E_{m}}{m}} \end{matrix}

(2)

összefüggésekből számíthatjuk, (1) és (2)-ből a pályasugárra

\begin{matrix} r = \frac{\sqrt[]{2 E_{m} m}}{e B} \end{matrix}

(3)

adódik.
Vajon jogos-e a newtoni fizika összefüggéseinek használata a jelen esetben? Számoljuk ki a pályasugarat relativisztikusan is, és vessük össze az eredményt a klasszikus képlettel! Ha a továbbiakban

m

-mel az elektron nyugalmi tömegét jelöljük,

E

-vel az összenergiáját,

p

-vel pedig az impulzusát, akkor a következő relativisztikus képleteket írhatjuk fel:

\begin{matrix} E & = m c^{2} + E_{m}, & (4) \\ E & = \sqrt[]{{(m c^{2})}^{2} + {(p c)}^{2}}, & (5) \\ E & = \frac{m c^{2}}{\sqrt[]{1 - v^{2} / c^{2}}}, \\ p & = \frac{m v}{\sqrt[]{1 - v^{2} / c^{2}}}, \end{matrix}

és a körmozgásra vonatkozó mozgásegyenletet:

\begin{matrix} e B v = \frac{m}{\sqrt[]{1 - v^{2} / c^{2}}} \cdot \frac{v^{2}}{r} = \frac{p v}{r} . \end{matrix}

(6)

Ez utóbbiból a pályasugár kifejezhető:

\begin{matrix} r = \frac{p}{e B}, \end{matrix}

majd (5) és (4) segítségével a formula

\begin{matrix} r = \frac{\sqrt[]{E_{m}^{2} + 2 m c^{2} E_{m}}}{c e B} \end{matrix}

(7)

alakra hozható.
Jobban össze tudjuk hasonlítani a nemrelativisztikus és a relativisztikus képletből számolt pályasugarakat, ha az elektron mozgási energiáját az

m c^{2} = 510

keV egységekben mérjük. Legyen

\begin{matrix} λ = \frac{E_{m}}{m c^{2}}, \end{matrix}

ekkor (3) szerint

\begin{matrix} r_{nemrel.} = \frac{m c}{e B} \cdot \sqrt[]{2 λ}, \end{matrix}

míg (7) alapján

\begin{matrix} r_{rel.} = \frac{m c}{e B} \cdot \sqrt[]{λ (2 + λ)} . \end{matrix}

A kétféle formulából számolt pályasugarakat (

(m c) / (e B)

egységekben mérve) az ábra szemlélteti. A négyzetgyökök előtt álló kifejezés a feladatban szereplő 1 teslás mágneses indukció esetén

\begin{matrix} \frac{m c}{e B} = \frac{9, 1 \cdot 10^{- 31} \cdot 3 \cdot 10^{8}}{1, 6 \cdot 10^{- 19} \cdot 1} m = 1, 7 mm . \end{matrix}

Számítsuk ki most a pályasugarakat a feladatban megadott energiákra!

a)

Az első esetben

λ = \frac{1}{100} ≪ 1

, ilyenkor a nemrelativisztikus és a relativisztikus számolás ugyanarra az eredményre, 0,24 mm-re vezet.

b)

Ugyancsak jó a nemrelativisztikus közelítés

λ = \frac{10}{510} \approx 0, 02

-nél, a pályasugár 0,34 mm.¹

c)

Az 51 MeV-es elektronok mozgási energiája a nyugalmi energia 100-szorosa, tehát

λ ≫ 1

. Ez az ultrarelativisztikus határeset, amikor az ilyenkor helyes relativisztikus képlet 17 cm-t, a hibás klasszikus formula pedig csak 2,4 cm-t ad.
Az ábrán az

a)

és

b)

esetet nem tudtuk feltüntetni, mert a választott lépték mellett az origótól vonalvastagságnyira helyezkednek el. Az azonban jól látszik, hogy a kétféle képlet eredménye itt ‐ gyakorlatilag ‐ megegyezik. Az eltérés

λ \approx 1

-nél válik számottevővé, az ultrarelativisztikus

c)

határeset pedig már nem fér rá a rajzra, helyette

λ = 10

-et jelöltük be. Ebben az energiatartományban a klasszikus és a relativisztikus számolás alapvetően különböző eredményre vezet.

¹A Szerkesztőbizottság eredeti szándéka szerint a

b)

kérdésben 510 keV-os energiát adott volna meg (az angol fordításban ez a számérték szerepelt), ez éppen

λ = 1

-nek felel meg. Ilyenkor a klasszikus és a relativisztikus számolás eredménye már észrevehetően eltér egymástól.