Kezdőlap


Feladat:	3915. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	(G. P.) , Filep Csaba , Reiter Viktor
Füzet:	2007/április, 242 - 244. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb merev testek dinamikája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/október: 3915. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tekintsük az egyik motorost, amelyiknek tömege $m$ , pályájának sugara $R$ , a dőlésszöge pedig a vízszinteshez képest $α$ . Írjuk le a motoros mozgását a versenypályáról nézve, vagyis inerciarendszerből! A motorosra a tömegközéppontjánál $m g$ gravitációs erő hat, a kerekek és a talaj érintkezésénél pedig $F$ nyomóerő, amelyet felbonthatunk egy függőleges irányú $N$ nyomóerőre és vízszintes irányú $S$ súrlódási erőre (lásd vázlatosan az 1. ábrán).

1. ábra

F

-nek nem lehet forgatónyomatéka a tömegközéppontra (különben a motor feldőlne), emiatt

\begin{matrix} N = F sin α, S = F cos α, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} S = N ctg α . \end{matrix}

Másrészt a motoros függőleges gyorsulása nulla, így

\begin{matrix} N = m g, \end{matrix}

a vízszintes gyorsulása pedig a körmozgás centripetális gyorsulása, tehát

\begin{matrix} S = m R ω^{2}, \end{matrix}

vagyis fennáll, hogy

\begin{matrix} R ω^{2} = g ctg α . \end{matrix}

A fenti képlet jobb oldalán álló kifejezés mindkét motorosra ugyanakkora, tehát a bal oldal is az kell legyen:

\begin{matrix} R_{1} ω_{1}^{2} = R_{2} ω_{2}^{2} . \end{matrix}

Ezek szerint ha

R_{1} < R_{2}

, akkor

ω_{1}^{2} > ω_{2}^{2}

, tehát

ω_{1} > ω_{2}

, vagyis a kisebb sugarú körpályán haladó motoros tesz meg hamarabb egy kört.

II. megoldás. Írjuk le a mozgást a motorral együttmozgó (és együttforgó) vonatkoztatási rendszerben! A motorosra a tömegközéppontjánál függőlegesen lefelé hat az

m g

gravitációs erő, pályasugarának irányában kifelé pedig egy tehetetlenségi erő, az

m R ω^{2}

nagyságú centrifugális erő. Ezen két erő arányát a motoros dőlésszöge egyértelműen meghatározza, hiszen az eredőjüknek át kell mennie a kerekek nyomvonalán.

2. ábra

Eszerint a két motoros mozgását ugyanazon

R ω^{2}

jellemzi, tehát a kisebb sugarú pályán haladó szögsebessége lesz a nagyobb, ő tesz meg hamarabb egy kört.

Megjegyzések. Mindkét megoldásban hallgatólagosan több elhanyagolással éltünk.
1. Nem tettünk különbséget a motoros tömegközéppontjának pályasugara és a kerekek nyomvonalának sugara között. Ez nyilván akkor jó közelítés, ha a pálya

R

sugara sokkal nagyobb, mint a motor és a motoros együttes

h

magassága. (Versenyeken ‐ a nagy sebesség miatt ‐ ez általában teljesül.)
2. A motort és a motorost merev testnek tekintettük, vagyis olyan testnek, amelynek egyes részei egymáshoz képest nem mozdulnak el. A motorkerékpár nyilván nem ilyen test, hiszen a kerekei gyorsan forognak, és a robbanómotor dugattyúi is másodpercenként nagyon sokszor ide-oda mozognak. Ezen belső mozgások figyelembevételétől akkor tekinthetünk el, ha a mozgó alkatrészek tömege sokkal kisebb, mint a motor és a motoros össztömege. A versenymotorok viszonylag nagy és nehéz kerekei miatt ez a közelítés megkérdőjelezhető.
3. Mindkét megoldás lényegesen kihasználta, hogy a motor kerekeinél ható erő a tömegközéppont irányába mutat, ez azonban ‐ szigorúan véve ‐ nem igaz!
Az I. megoldásban nem vettük figyelembe, hogy a motoros + motor (még ha merev testnek tekintjük is) a körmozgás miatt a tömegközéppont körül függőleges tengelyű forgómozgást is végez, tehát a rendszernek van perdülete. Ez a perdület azonban ‐ a motoros aszimmetrikus alakja és a bedőlés miatt ‐ nem függőleges irányú, és a vízszintes komponensének körbefordulása miatt időben nem is állandó! A változó perdülethez viszont eredő forgatónyomatékra van szükség.
A II. megoldás gondolatmenetét követve ott jártunk el nagyvonalúan, amikor a centrifugális erő hatásvonalát a tömegközépponton keresztül vettük fel. A valóságban a motor és a motoros alsó részei nagyobb sugarú pályán mozognak, mint a bedőlő motoros testének felső része, például a feje. Így az egyes részekre ható centrifugális erők nem csak a részek tömegétől, hanem a helyzetétől is függnek, és emiatt az eredő forgatónyomatékuk a tömegközéppontra nem nulla. A motoros (forgó koordináta-rendszerben észlelt) nyugalmi állapotának az a feltétele, hogy a kerekeknél ható erőknek is legyen forgatónyomatéka a tömegközéppontra, tehát ezen erők eredőjének hatásvonala ne haladjon át a tömegközépponton.
Az itt leírt ,,pörgettyűhatás'' (akár az inercia-, akár a gyorsuló rendszerből tárgyaljuk) akkor válna számottevővé, ha a motoros

h

mérete összemérhető lenne a pálya

R

sugarával, vagyis ha a motoros nagyon élesen venné be a kanyart. Ez azonban a nagy sebesség és a tapadó súrlódás véges (

μ \approx 1

) értéke (csúszásveszély) miatt nem ajánlatos!