Kezdőlap


Feladat:	3890. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kónya Gábor
Füzet:	2007/február, 110 - 111. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térerősség és erő, Gauss-törvény, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/április: 3890. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. $a)$ Jelöljük a lemez behelyezése előtt mérhető (külső) elektromos térerősséget $E_{0}$ -lal, a lemez saját (tehát a rajta levő töltésektől származó) elektromos térerősségét pedig $E_{lemez}$ -zel! ( $E_{0}$ -t a jobbra mutató irányban, $E_{lemez}$ -t pedig a lemeztől távolodva tekintjük pozitívnak.) A $Q$ össztöltésű fémlemez saját tere a lemez közelében $E_{0}$ -hoz hasonlóan ugyancsak homogénnek tekinthető.

1. ábra

A lemez bal és jobb oldalán észlelhető elektromos térerősségek a külső tér és a saját tér szuperpozíciójaként állnak elő (1. ábra):

\begin{matrix} E_{1} = E_{0} - E_{lemez}, E_{2} = - E_{0} - E_{lemez} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} E_{0} = \frac{E_{1} - E_{2}}{2} = 1, 25 \cdot 10^{5} \frac{V}{m}, \end{matrix}

illetve

\begin{matrix} E_{lemez} = - \frac{E_{1} + E_{2}}{2} = - 4, 35 \cdot 10^{5} \frac{V}{m} . \end{matrix}

(A lemez saját terének negatív előjele azt mutatja, hogy a lemez töltése ténylegesen negatív.) A lemez saját tere nyilván nem fejt ki erőt a lemezre, a külső homogén tér által kifejtett erő nagysága pedig

\begin{matrix} F = | Q | E_{0} . \end{matrix}

Innen a (negatív töltésű) lemez töltése:

\begin{matrix} Q = - \frac{F}{E_{0}} = - 6, 4 \cdot 10^{- 7} C. \end{matrix}

b)

A lemez töltése és a saját terének nagysága közötti kapcsolatot a Gauss-törvény adja meg. Ha a lemez egy-egy oldalának területe

A

, akkor a teljes

2 A

felületen áthaladó elektromos fluxus

2 A E_{lemez}

, és ez a mennyiség Gauss törvénye szerint a lemez töltésével arányos:

\begin{matrix} 2 A \cdot E_{lemez} = Q \cdot \frac{1}{ε_{0}}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} A = \frac{Q}{2 ε_{0} | E_{lemez} |} = 0, 083 m^{2} = 830 {cm}^{2} . \end{matrix}

II. megoldás. A feladatot a virtuális munka elvének alkalmazásával is megoldhatjuk. Mozdítsuk el a lemezt gondolatban (virtuálisan) lassan egy kicsiny

Δ x

távolsággal, mondjuk jobbra (2. ábra). Ekkor az általunk kifejtett erőnek (a lemezre ható elektrosztatikus erő ellenerejének) munkája

\begin{matrix} Δ W = F Δ x . \end{matrix}

Ez a munka a rendszer elektrosztatikus energiáját növeli. Az elmozdulás hatására egy kicsiny,

A \cdot Δ x

térfogatú (az ábrán sötétebben jelölt) sávban a térerősség

E_{2}

-ről

E_{1}

-re nő, megnő tehát az elektrosztatikus mező energiasűrűsége (az egységnyi térfogatra jutó energia). Az energianövekedés

\begin{matrix} Δ W = (\frac{1}{2} ε_{0} E_{1}^{2} - \frac{1}{2} ε_{0} E_{1}^{2}) A Δ x . \end{matrix}

A fenti két egyenlet összevetéséből

\begin{matrix} A = \frac{2 F}{ε_{0} (E_{1}^{2} - E_{1}^{2})} = 0, 083 m^{2} . \end{matrix}

2. ábra

A lemez össztöltése a Gauss-törvényből határozható meg. A fémlemezbe összesen

A E_{1} + A E_{2}

elektromos fluxus lép be, a lemez (negatív) töltésének nagysága tehát

\begin{matrix} | Q | = - Q = ε_{0} A (E_{1} + E_{2}) = 6, 4 \cdot 10^{- 7} C. \end{matrix}