Kezdőlap


Feladat:	3880. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kupcsik Réka
Füzet:	2007/február, 107 - 108. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Newton-féle gravitációs erő, Bolygómozgás, Kepler törvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/március: 3880. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a földközeli sebességet és távolságot 1-es, a földtávoli adatokat pedig 2-es indexszel, az űrhajó tömegét $m$ -mel, a Föld tömegét pedig $M$ -mel. Kepler II. törvénye szerint

\begin{matrix} r_{1} v_{1} = r_{2} v_{2}, \end{matrix}

((1))

a mechanikai energiamegmaradás törvénye szerint pedig

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{1}^{2} - γ \frac{m M}{r_{1}} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - γ \frac{m M}{r_{2}} . \end{matrix}

((2))

Az első egyenletből

r_{2}

-t kifejezve és (2)-be helyettesítve

v_{2}

-re egy másodfokú egyenletet kapunk:

\begin{matrix} (r_{1} v_{1}) \cdot v_{2}^{2} - (2 γ M) \cdot v_{2} + (2 γ M v_{1} - r_{1}^{} v_{1}^{3}) = 0, \end{matrix}

melynek megoldása:

\begin{matrix} v_{2} = \frac{γ M \pm \sqrt[]{γ^{2} M^{2} - 2 γ M r_{1}^{} v_{1}^{2} + r_{1}^{2} v_{1}^{4}}}{r_{1} v_{1}} = \frac{γ M \pm (γ M - r_{1}^{} v_{1}^{2})}{r_{1} v_{1}} . \end{matrix}

A negatív előjel

v_{2} = v_{1}

és

r_{2} = r_{1}

-re vezet, ez nyilván megoldása (1) és (2)-nek, de számunkra érdektelen, hiszen körmozgást, nem pedig ellipszispályát ír le. A másik gyök:

\begin{matrix} v_{2} = \frac{2 γ M}{r_{1} v_{1}} - v_{1}, \end{matrix}

amiből az adatok behelyettesítése után

v_{2} \approx 1, 65

km/s és

r_{2} \approx 41 600

km adódik.