Kezdőlap


Feladat:	C.972	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Pósfai Balázs
Füzet:	2010/szeptember, 329. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Kombinatorikai leszámolási problémák, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/január: C.972

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az első terjesztő a 10 postaláda közül 5-öt $(\binom{10}{5})$ -féleképpen választhat ki, és ugyanúgy a második terjesztő is. Vagyis az összes esetek száma ${(\binom{10}{5})}^{2}$ .
Ha azt akarjuk, hogy legalább 8 postaládában legyen szórólap, akkor a második terjesztőnek legalább 3 üres ládába kell szórólapot tenni. De tehet 4 vagy 5 üres ládába is, mert ekkor is teljesülni fog a feladat követelménye.
Számoljuk meg, összesen hány jó megoldás van. Az 5 további üres láda esete $(\binom{10}{5}) (\binom{5}{5})$ -féleképpen alakulhat. (Az első 5 ládát 10-ből választjuk, a második 5-öt az üres ládák közül.) A 4 további üres láda kiválasztására $(\binom{10}{5}) (\binom{5}{4}) (\binom{5}{1})$ lehetőség van. Végül a 3 újabb üres láda esete $(\binom{10}{5}) (\binom{5}{3}) (\binom{5}{2})$ -féleképpen választható ki.
A kedvező esetek száma:

\begin{matrix} (\binom{10}{5}) [(\binom{5}{5}) + (\binom{5}{4}) (\binom{5}{1}) + (\binom{5}{3}) (\binom{5}{2})] = (\binom{10}{5}) (1 + 25 + 100) = (\binom{10}{5}) \cdot 126. \end{matrix}

A keresett valószínűség:

\begin{matrix} P = \frac{(\binom{10}{5}) \cdot 126}{{(\binom{10}{5})}^{2}} = \frac{126}{(\binom{10}{5})} = \frac{126}{252} = \frac{1}{2} . \end{matrix}