A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Tekintsük az egyenesnek egy sem -vel, sem -val nem közös pontját. (Ilyen biztosan van, hiszen , , a tér különböző egyenesei.) Vegyük a egyenesnek két, -fel és -val nem közös pontját. Mindkét pont kiválasztott pontjával meghatároz egy-egy egyenest, amelyeknek a feladat szerint van -val közös pontja. Ez a két egyenes meghatároz egy síkot. Ezen a síkon -nek és -nak is 2-2 pontja van, vagyis az egész és egyenes ezen a síkon van. Az egyenes is ezen a síkon van, hiszen ha nem így lenne, akkor vennénk egy a síkon kívüli pontját, és a egyenes egy -fel és -val nem közös pontját. Az ezek által meghatározott egyenes metszené a síkot, és így csak egy közös pontja lenne a síkkal, amivel a egyenest metszené, így a egyenest már nem metszhetné. Tehát az , , egyenesek egy síkon vannak. Ha -nek és -nek van közös pontja, akkor egy, a síkon kívüli pont és a metszéspont által meghatározott egyenesnek csak akkor van -val is közös pontja, ha az és közös pontja egyben pontja is. Így ha veszünk az , és egyenesek síkjában egy egyenest, annak lesz közös pontja -fel és -vel (hiszen mivel , és egy pontban metszik egymást, ezért és , így és ), azonban nem lesz -val is közös pontja. (Hiszen .) Így az és egyenesnek nem lehet közös pontja, vagyis . Ha , akkor veszünk egy -vel párhuzamos egyenest az , , egyenesek síkjában. Ennek van -fel és -vel közös pontja, de nincs -val. Így , vagyis . Az egyenesnek csak akkor lesz -fel és -vel is közös pontja, ha az , , egyenesek által meghatározott síkban van és nem párhuzamos velük. De ekkor -val sem párhuzamos, vagyis valóban vele is van közös pontja. Tehát az , , egyenesek egy síkban vannak és párhuzamosak. |