Feladat: B.4219 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ágoston Péter ,  Ágoston Tamás ,  Balási Szabolcs ,  Beke Lilla ,  Éles András ,  Énekes Péter ,  Janzer Olivér ,  Karkus Zsuzsa ,  Korondi Zénó ,  Réti Dávid ,  Sieben Bertilla ,  Uray Marcell János ,  Varga Vajk 
Füzet: 2010/április, 224 - 225. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Ponthalmazok, Térelemek és részeik, Indirekt bizonyítási mód
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/november: B.4219

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tekintsük az f egyenesnek egy sem g-vel, sem h-val nem közös pontját. (Ilyen biztosan van, hiszen f, g, h a tér különböző egyenesei.) Vegyük a g egyenesnek két, f-fel és h-val nem közös pontját. Mindkét pont f kiválasztott pontjával meghatároz egy-egy egyenest, amelyeknek a feladat szerint van h-val közös pontja. Ez a két egyenes meghatároz egy síkot. Ezen a síkon g-nek és h-nak is 2-2 pontja van, vagyis az egész g és h egyenes ezen a síkon van. Az f egyenes is ezen a síkon van, hiszen ha nem így lenne, akkor vennénk egy a síkon kívüli pontját, és a g egyenes egy f-fel és h-val nem közös pontját. Az ezek által meghatározott egyenes metszené a síkot, és így csak egy közös pontja lenne a síkkal, amivel a g egyenest metszené, így a h egyenest már nem metszhetné.
Tehát az f, g, h egyenesek egy síkon vannak.
Ha f-nek és g-nek van közös pontja, akkor egy, a síkon kívüli pont és a metszéspont által meghatározott egyenesnek csak akkor van h-val is közös pontja, ha az f és g közös pontja egyben h pontja is. Így ha veszünk az f, g és h egyenesek síkjában egy eh egyenest, annak lesz közös pontja f-fel és g-vel (hiszen mivel f, g és h egy pontban metszik egymást, ezért fh és gh, így ef és eg), azonban nem lesz h-val is közös pontja. (Hiszen eh.) Így az f és g egyenesnek nem lehet közös pontja, vagyis fg.
Ha hf, akkor veszünk egy e-vel párhuzamos h egyenest az f, g, h egyenesek síkjában. Ennek van f-fel és g-vel közös pontja, de nincs h-val. Így hf, vagyis
fgh.
Az e egyenesnek csak akkor lesz f-fel és g-vel is közös pontja, ha az f, g, h egyenesek által meghatározott síkban van és nem párhuzamos velük. De ekkor h-val sem párhuzamos, vagyis valóban vele is van közös pontja.
Tehát az f, g, h egyenesek egy síkban vannak és párhuzamosak.