I. megoldás. A cső tengelyében levő vezetékben és a cső falában folyó áram hatására mágneses mező alakul ki. Ez a mező a fémcső falában mozgó töltéshordozókra Lorentz-erőt fejt ki. Ez az erő növelni (vagy csökkenteni) igyekszik a fémcső sugarát; hatására a cső mérete megváltozik. A deformáció során a fémben rugalmas feszültségek alakulnak ki. A rendszer egyensúlyi állapotában a mágneses erők és a rugalmas erők éppen egyensúlyt tartanak.
A helyzetet kicsit bonyolítja, hogy a cső falában a mágneses mező nagysága nem állandó! A cső belső oldalánál csak a cső közepén haladó huzal áramát kell számításba vennünk (hiszen a cső árama a cső belsejében nem hoz létre mágneses teret), így ott a mágneses indukció

 

1. ábra

 

2. ábra

Megjegyzés. Megmutatjuk, hogy az átlagos mágneses indukcióval való számolás akkor is helyes, ha a cső falában az árameloszlás nem homogén (de hengerszimmetrikus).

 

 

3. ábra

 

Daraboljuk fel a $d$ falvastagságú fémcsövet képzeletben sok, vékonyabb falú, közös tengelyű csőre, majd tekintsük ennek a (póréhagymára emlékeztető) csőseregnek egy $\Delta \alpha$ szöggel jellemezhető szeletét (3. ábra)! Az egyes csövecskékben (rétegekben) folyjon $\Delta i$ áram, és egy adott réteg esetén jelöljük $i$-vel azt az áramot, amely a tőle befelé eső csövecskékben összesen folyik. (A cső közepén levő vezetékben az $I$ erősségű áram az ábra síkjára merőlegesen felfelé, az $i$ áram pedig lefelé folyik.) Egy olyan rétegben, melynek a cső belső falától mért távolsága $x$ (nyilván $x<d\ll r$), vagyis a sugara $r+x$, a mágneses indukció (a jobbkézszabálynak megfelelően) felülről nézve az óramutató járásával ellentétes irányba mutat, nagysága pedig:

$\begin{array}{c}{\displaystyle B=\frac{{\mu }_0}{2\pi \left(r+x\right)}\left(I-i\right)\approx \frac{{\mu }_0}{2\pi r}\left(I-i\right)\mathrm{.}}\end{array}$

Válasszunk az 1. ábrán látható módon egy $L$ hosszúságú csődarabot, majd vegyük ennek (a 2. ábra szerint) egy $\Delta \alpha$ nyílásszöghöz tartozó darabját. Célunk az, hogy kiszámítsuk az egyes rétegekre ható mágneses erőt, majd ezeket a teljes $d$ szélességre összegezve megkapjuk az $L$ hosszúságú, $\Delta \alpha$ nyílásszögű csődarabkára ható eredő Lorentz-erőt.
A hengerszimmetrikus árameloszlás miatt a vizsgált vezetőszálban nyilván $\Delta i\cdot \frac{d\alpha }{2\pi }$ nagyságú áram folyik. A jobbkézszabályt alkalmazva látjuk, hogy az erő sugár irányban kifelé fog mutatni, és a nagysága:

$\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta F=BL\frac{\Delta \alpha }{2\pi }\Delta i=\frac{{\mu }_{0}L\Delta \alpha }{4{\pi }^{2}r}\cdot \left(I-i\right)\Delta i\mathrm{.}}\end{array}$

Ezeket az erőket kell összegezni (vagy integrálni) a cső teljes szélességére, ami az $i$ áramerősségben $0$-tól $I$-ig futó összegzésnek (integrálásnak) felel meg:

$\begin{array}{c}{\displaystyle F_{\text{Lorentz}}=\sum \Delta F=\frac{{\mu }_{0}L\Delta \alpha }{4{\pi }^{2}r}\sum \left(I-i\right)\Delta i\mathrm{.}}\end{array}$

Tekintettel arra, hogy

$\begin{array}{c}{\displaystyle \sum \left(I-i\right)\Delta i=\sum I\Delta i-\sum i\Delta i=I\sum \Delta i-\sum \Delta \left(\frac{i^2}{2}\right)=I\cdot I-\frac{I^2}{2}=\frac{I^2}{2}\mathrm{,}}\end{array}$

(2)

a cső teljes vastagságú, de csak $\Delta \alpha$ nyílásszögű darabkájára ható mágneses erő

$\begin{array}{c}{\displaystyle F_{\text{Lorentz}}=\frac{{\mu }_0{I}^{2}L\Delta \alpha }{8{\pi }^{2}r}\mathrm{,}}\end{array}$

(3)

összhangban az átlagos mágneses indukció alapján számolt (1) képlettel.
A (2) átalakítás eredménye geometriai úton, a 4. ábrán látható derékszögű háromszög $T=I^2/2$ területének kiszámításával, vagy az integrálszámítás formuláinak alkalmazásával is megkapható:

${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \sum \left(I-i\right)\Delta i}& {\displaystyle \approx {\int }_0^I\left(I-i\right)\text{d}i=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left[Ii-\frac{i^2}{2}\right]}_{i=0}^{i=I}=\frac{1}{2}{I}^2\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$

 

4. ábra

 

5. ábra