A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A cső tengelyében levő vezetékben és a cső falában folyó áram hatására mágneses mező alakul ki. Ez a mező a fémcső falában mozgó töltéshordozókra Lorentz-erőt fejt ki. Ez az erő növelni (vagy csökkenteni) igyekszik a fémcső sugarát; hatására a cső mérete megváltozik. A deformáció során a fémben rugalmas feszültségek alakulnak ki. A rendszer egyensúlyi állapotában a mágneses erők és a rugalmas erők éppen egyensúlyt tartanak. A helyzetet kicsit bonyolítja, hogy a cső falában a mágneses mező nagysága nem állandó! A cső belső oldalánál csak a cső közepén haladó huzal áramát kell számításba vennünk (hiszen a cső árama a cső belsejében nem hoz létre mágneses teret), így ott a mágneses indukció míg a cső külső szélénél (a vezetékben és a csőben folyó, egymással ellentétes irányú áramok együttes hatására) már nincs mágneses tér: | | Természetesen minden töltéshordozó a helyi (lokális) mágneses teret érzékeli, tehát a cső belső felületének közelében mozgó töltésekre ható Lorentz-erőt a indukcióból, a külső felület közelében mozgó töltésekre ható erőt pedig a indukcióból kell kiszámolnunk. Mivel , feltételezhetjük, hogy a mágneses indukció egyenletesen (lineárisan) változik a cső sugara mentén, és a Lorentz-erőt számolhatjuk a külső és belső oldali mágneses indukciók | | átlagértékéből. (Később megmutatjuk, hogy az átlagos térerősségből számolt eredmény akkor is helyes, ha a mágneses indukció változása nem lineáris.)
1. ábra Tekintsük a feladatban szereplő ,,végtelen hosszú'' elrendezésnek valamekkora hosszúságú részét (1. ábra), és vizsgáljuk ezen részben a fémcső egy kicsiny, a cső tengelyétől nézve szögben látszó darabkáját (2. ábra)! Ebben a darabkában a csőben folyó teljes áram arányos töredéke, tehát nagyságú áram folyik. Így ‐ az átlagos mágneses indukcióval számolva ‐ a csődarabkára | | (1) | nagyságú, sugár irányban kifelé mutató erő hat. (Az erő irányát a jobbkézszabály ismételt alkalmazásával, vagy az ellentétes áramirányú, párhuzamos, egyenes vezetők között ható mágneses taszítóerőből kaphatjuk meg.)
2. ábra
Megjegyzés. Megmutatjuk, hogy az átlagos mágneses indukcióval való számolás akkor is helyes, ha a cső falában az árameloszlás nem homogén (de hengerszimmetrikus).
3. ábra Daraboljuk fel a falvastagságú fémcsövet képzeletben sok, vékonyabb falú, közös tengelyű csőre, majd tekintsük ennek a (póréhagymára emlékeztető) csőseregnek egy szöggel jellemezhető szeletét (3. ábra)! Az egyes csövecskékben (rétegekben) folyjon áram, és egy adott réteg esetén jelöljük -vel azt az áramot, amely a tőle befelé eső csövecskékben összesen folyik. (A cső közepén levő vezetékben az erősségű áram az ábra síkjára merőlegesen felfelé, az áram pedig lefelé folyik.) Egy olyan rétegben, melynek a cső belső falától mért távolsága (nyilván ), vagyis a sugara , a mágneses indukció (a jobbkézszabálynak megfelelően) felülről nézve az óramutató járásával ellentétes irányba mutat, nagysága pedig: | |
Válasszunk az 1. ábrán látható módon egy hosszúságú csődarabot, majd vegyük ennek (a 2. ábra szerint) egy nyílásszöghöz tartozó darabját. Célunk az, hogy kiszámítsuk az egyes rétegekre ható mágneses erőt, majd ezeket a teljes szélességre összegezve megkapjuk az hosszúságú, nyílásszögű csődarabkára ható eredő Lorentz-erőt. A hengerszimmetrikus árameloszlás miatt a vizsgált vezetőszálban nyilván nagyságú áram folyik. A jobbkézszabályt alkalmazva látjuk, hogy az erő sugár irányban kifelé fog mutatni, és a nagysága: | | Ezeket az erőket kell összegezni (vagy integrálni) a cső teljes szélességére, ami az áramerősségben -tól -ig futó összegzésnek (integrálásnak) felel meg: | | Tekintettel arra, hogy | | (2) | a cső teljes vastagságú, de csak nyílásszögű darabkájára ható mágneses erő összhangban az átlagos mágneses indukció alapján számolt (1) képlettel. A (2) átalakítás eredménye geometriai úton, a 4. ábrán látható derékszögű háromszög területének kiszámításával, vagy az integrálszámítás formuláinak alkalmazásával is megkapható:
4. ábra
Az egyes csődarabkákra ható, sugár irányban kifelé mutató mágneses erő hatására a cső sugara az eredeti -ről valamekkora értékkel megnő. Ennek következtében a cső kerülete -ről -ra változik, a relatív megnyúlás tehát: | | A Hooke-törvény szerint a cső falában (a vizsgált hosszú, szöggel jellemzett tartományban) | | (4) | nagyságú, a cső keresztmetszetének érintője irányába mutató rugalmas erők ébrednek. A rugalmas erők és a mágneses erők (lásd a 2. ábrát) akkor vannak egyensúlyban, ha fennáll a | | összefüggés, ami (3) és (4), valamint a kis szögekre érvényes közelítés felhasználásával a végeredményhez vezet. Megjegyzés. A megoldás során feltételeztük, hogy a relatív deformáció kicsiny, vagyis . Ha nem így lenne, a Hooke-törvény sem lenne érvényes, és a Young-modulus fogalma is használhatatlanná válna. A kicsiny sugárnövekedés miatt a mágneses Lorentz-erő számításánál a cső sugarát az eredeti, deformáció előtti értékével közelíthettük.
II. megoldás. Osszuk fel képzeletben a fémcső hosszúságú darabját olyan sok vékony csíkra, hogy az egyes csíkokat már ‐ elhanyagolható vastagságú ‐ áramvezető drótoknak tekinthessük. Számítsuk ki, mekkora erőt fejt ki az egyik kiszemelt (pl. az 5. ábra alján sötét színezéssel jelölt) ,,drótra'' az összes többi ,,vezeték''!
5. ábra Ha a csövet részre osztjuk (), akkor az egyes csíkok szélei a tengelytől szögben látszanak, és a csíkokban egyenként áram folyik. A cső közepén levő huzal (a csőben folyóval ellentétes irányú) árama a vizsgált vezetékdarabra (Ampre törvénye szerint) nagyságú taszítóerőt fejt ki. Másrészt a többi ,,csíkban'' folyó, a vizsgált darabkáéval megegyező irányú áramok is erőt fejtenek ki a kérdéses (sötétre színezett) csíkra. Ez az erő vonzóerő, amely a csövet igyekszik összehúzni. Az a ,,vezeték'', amelyik a vizsgált csíkhoz képest szögben elfordult helyzetben található, tehát távol van tőle, | | nagyságú erőt fejt ki rá. Ezeket ez erőket kell összegeznünk, ha a sötéten jelzett csíkra ható eredő erőt akarjuk meghatározni. Szimmetria-okokból a csíkok közötti vonzóerőknek csak az -lal párhuzamos komponenseit kell összegeznünk (az erre merőleges összetevők kiejtik egymást). A fémcső áramának eredő hatása a vizsgált csíkban folyó áramra: | | Ebben az összegben csupa egyforma nagyságú összeadandó szerepel, az eredmény tehát: | | A csőben folyó áram csövet összehúzó hatása tehát éppen feleakkora, mint a cső közepén levő huzalban folyó áram csövet tágító hatása. A cső relatív méretváltozása következtében a cső falában rugalmas húzófeszültség alakul ki, ez a vizsgált csík ,,oldalainál'' nagyságú, érintő irányú erőket eredményez. Mivel ezen erők -lal párhuzamos komponenseinek összege: | | az egyensúly feltétele: | | ahonnan a cső sugarának növekedése: |