Kezdőlap


Feladat:	4208. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lőrincz Dóra
Füzet:	2010/május, 299 - 300. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Tökéletesen rugalmas ütközések
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/december: 4208. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ A $v_{0}$ sebességgel elindított $m$ tömegű golyó először a $3 m$ tömegű golyóval ütközik rugalmasan. Jelöljük a kisebb golyó ütközés utáni sebességét $v_{1}$ -gyel, a nagyobb golyó sebességét pedig $v_{2}$ -vel! (A mozgási irányokat $v_{0}$ -lal megegyező irány esetén tekintjük pozitívnak.) Mivel az ütközés rugalmas, ezért a rendszer összlendülete is és összes mozgási energiája is megmarad. A lendületmegmaradás törvénye erre az ütközésre:

\begin{matrix} m v_{0} = m v_{1} + 3 m v_{2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} v_{1} = v_{0} - 3 v_{2} . \end{matrix}

(1)

A mozgási energia megmaradása:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} + \frac{1}{2} (3 m) v_{2}^{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} v_{0}^{2} = v_{1}^{2} + 3 v_{2}^{2} . \end{matrix}

(2)

v_{1}

sebesség (1)-ben szereplő kifejezését (2)-be helyettesítve

v_{2}

-re egy másodfokú egyenletet kapunk:

\begin{matrix} v_{2} (2 v_{2} - v_{0}) = 0. \end{matrix}

Ennek egyik gyöke

v_{2} = 0

(és ennek megfelelően

v_{1} = v_{0}

) számunkra elfogadhatatlan, hiszen annak felelne meg, mintha az

m

tömegű test ,,átbújna'' a

3 m

tömegű testen, és mindketten változatlan sebességgel mozognának tovább. Az egyenlet másik gyöke:

\begin{matrix} v_{2} = \frac{1}{2} v_{0} = 2, 5 \frac{m}{s} és v_{1} = - \frac{1}{2} v_{0} = - 2, 5 \frac{m}{s} . \end{matrix}

A középső,

m

tömegű test tehát

| v_{1} | = 2, 5 \frac{m}{s}

nagyságú sebességgel ütközik neki a bal oldali,

4 m

tömegű testnek. Ez az ütközés is rugalmas, tehát a rendszer lendülete is és mozgási energiája is megmarad. Az ütközés után a kisebb test sebessége legyen

u_{1}

, a nagyobbé

u_{2}

. A lendületmegmaradás törvénye szerint

\begin{matrix} m v_{1} = m u_{1} + 4 m u_{2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} u_{1} = v_{1} - 4 u_{2}, \end{matrix}

(3)

az energiamegmaradás pedig:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{1}^{2} = \frac{1}{2} m u_{1}^{2} + \frac{1}{2} (4 m) u_{2}^{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} v_{1}^{2} = u_{1}^{2} + 4 u_{2}^{2} . \end{matrix}

(4)

A (3) és (4) egyenletek azon megoldása, amely tényleges ütközést ír le:

\begin{matrix} u_{2} = \frac{2}{5} v_{1} = - \frac{1}{5} v_{0} = - 1 \frac{m}{s}, illetve u_{1} = \frac{3}{10} v_{0} = + 1, 5 \frac{m}{s} . \end{matrix}

(Mivel

u_{1} < v_{2}

, harmadik ütközés nem következik be; a középső test nem éri utol a jobb oldali testet.)

b)

A tömegek és az ütközés utáni sebességek ismeretében könnyen számolható az ütközés utáni mozgási energiák aránya:

\begin{matrix} E_{4 m} : E_{m} : E_{3 m} & = (\frac{1}{2} \cdot 4 m \cdot u_{2}^{2}) : (\frac{1}{2} \cdot m \cdot u_{1}^{2}) : (\frac{1}{2} \cdot 3 m \cdot v_{2}^{2}) = \\ = 4 u_{2}^{2} : u_{1}^{2} : 3 v_{2}^{2} = 16 : 9 : 75. \end{matrix}