Kezdőlap


Feladat:	B.4236	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kacz Dániel , Weimann Richárd
Füzet:	2010/május, 287. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Szögfelező egyenes, Körülírt kör, Középponti és kerületi szögek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/január: B.4236

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az ábra jelöléseit használva $A T_{A} = f_{a}$ , $B T_{B} = f_{b}$ , $C T_{C} = f_{c}$ , $A K_{A} = t_{a}$ , $B K_{B} = t_{b}$ , $C K_{C} = t_{c}$ .

\begin{matrix} A K_{A} B ∢ = A C B ∢ = A C T_{A} ∢ = γ, \end{matrix}

mert az

A B

ívhez tartozó kerületi szögek.

K_{A} A B ∢ = K_{A} A C ∢ = \frac{α}{2}

, mert

A K_{A}

szögfelező. Ezekből következik, hogy

A K_{A} B ▵

és

A C T_{A} ▵

hasonló, mert két szögben megegyeznek. A hasonlóság miatt megfelelő oldalaik aránya egyenlő:

\begin{matrix} \frac{A K_{A}}{A B} = \frac{A C}{A T_{A}}, vagyis \frac{t_{a}}{c} = \frac{b}{f_{a}}, \end{matrix}

amiből:

f_{a} \cdot t_{a} = b \cdot c

Ugyanígy

B K_{B} C ▵ \sim B A T_{B} ▵ \Rightarrow f_{b} \cdot t_{b} = a \cdot c

és

\begin{matrix} C K_{C} A ▵ \sim C B T_{C} ▵ \Rightarrow f_{c} \cdot t_{c} = a \cdot b . \end{matrix}

A kapott egyenleteket összeszorozva:

f_{a} \cdot f_{b} \cdot f_{c} \cdot t_{a} \cdot t_{b} \cdot t_{c} = a^{2} \cdot b^{2} \cdot c^{2}

. Ezzel az állítást igazoltuk.