Feladat: B.4222 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Csizmadia Luca ,  Hajnal Péter János ,  Neokirchner Elisabeth 
Füzet: 2010/május, 285 - 286. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Kombinációk, Skatulyaelv
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/december: B.4222

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Hozzuk létre az összes lehetséges párosítást az osztály diákjai között.
30 diák közül kettőt

30⋅292=435
féle módon tudunk kiválasztani. Az összes lehetséges párost írjuk fel egy sorba. Az egyes kirándulások alkalmával kialakuló párosokat mindig húzzuk ki ebből a felsorolásból. Az 1-1 alkalommal kihúzandó párosok száma: 8⋅72=28. Ha feltesszük, hogy legfeljebb egyszer kirándult együtt bármely két gyerek, akkor minden újabb kirándulás után újabb 28 párost kell kihúzni.
Mivel 16 alkalommal kirándultak, 16⋅28=448 párost kellene kihúzni a 435 párból. Ez lehetetlen, vagyis a feltevésünk ellentmondásra vezetett. Tehát volt két olyan diák, akik legalább kétszer kirándultak együtt.
 
II. megoldás. Mivel 16 kirándulás volt, kirándulásonként 8-8 hellyel, összesen 16⋅8=128 hely volt. Ha minden gyerek legfeljebb 4 kiránduláson vett volna részt, akkor a 30 fős osztály tanulói összesen legfeljebb csak 120 helyet foglaltak volna el a 128-ból. Ezért volt legalább egy olyan diák, aki legalább 5 kiránduláson vett rész. Legyen ez a diák A.
Mivel A legalább 5 kiránduláson vett részt, azért legalább 5⋅7=35 diákkal utazott együtt (ahol a 35 diák között még lehet ismétlődés). Azonban az osztály 30 fős, így volt legalább egy olyan diák, akivel kétszer utazott együtt.