Kezdőlap


Feladat:	B.4206	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balási Szabolcs
Füzet:	2010/május, 277 - 278. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Szorzat, hatványozás azonosságai, Oszthatósági feladatok, Számelmélet alaptétele
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/október: B.4206

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tegyük fel, hogy $p^{k} + p^{m} = x^{2}$ négyzetszám. Ha $m = k$ , akkor $2 p^{k}$ osztható kettővel, de nem osztható néggyel, így nem lehet négyzetszám. Tehát feltehető, hogy $k < m$ .
Az összeget szorzattá alakítva:

\begin{matrix} p^{k} (1 + p^{m - k}) = x^{2} . \end{matrix}

Mivel a bal oldal négyzetszám, és

1 + p^{m - k}

nem osztható

p

-vel, azért

k

páros kell, hogy legyen. Tehát az egyenletet

p^{k}

-nal osztva az egyenlet mindkét oldalán négyzetszám marad:

\begin{matrix} 1 + p^{m - k} = a^{2}, p^{m - k} = a^{2} - 1 = (a + 1) (a - 1) . \end{matrix}

A bal oldal prímtényezős felbontásában csak

p

szerepel, így a jobb oldalon álló szorzat tényezői is

p

-hatványok. A különbségük azonban 2, ami nem osztható

p

-vel; így az egyik tényező 1, akkor viszont a másik 3. Ebből

p = 3

, azonban a feladat feltétele szerint

p > 3

. Így ellentmondásra jutottunk, vagyis

p^{k} + p^{m}

nem lehet négyzetszám. A feladat állítását ezzel igazoltuk.