A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az összes sorszám összege: | | ami osztható 1001-gyel. A társaság kétféle sorsjegyet vásárolhat: , vagy alakút, ahol . Az első típusú sorsjegyek sorszáma osztható 1001-gyel (), így ezt az összegből kivonva, az osztható marad 1001-gyel. A második típusú sorszám esetén: ha megfelel a feltételeknek, akkor is megfelel, mert erre a feladatban szereplő kifejezés értéke: A két sorszám összege: , ami osztható 1001-gyel. Ezeket elvéve az összegből, az osztható marad 1001-gyel. Így az összes megfelelő sorszámot az összegből kivonva, a maradék összege 1001-gyel osztható.
II. megoldás. Az összes sorsjegy sorszámainak összege: | | ami osztható 1001-gyel. Így a feladat állítása másképpen fogalmazva az, hogy a szerencsés sorsjegyek sorszámainak összege szintén osztható 1001-gyel. Az olyan számhatosok, amelyek kielégítik a szerencsés sorsjegy kívánalmait és a számjegyek között nincs két azonos, pontosan 48 db ilyen szerencsés sorsjegyet határoznak meg, mert az , és párok szabadon kicserélhetőek egymással (ez 6 lehetőséget jelent az elrendezésükre), valamint a párok két tagját is szabadon felcserélhetjük egymással (ez 8 lehetőség); ami összesen 48 db szerencsés számot jelent. Ezekben a számokban minden szám ugyanannyiszor szerepel minden helyiértéken, pontosan 8-szor, ez pedig azt jelenti, hogy ezen 48 szám összege biztosan osztható 111 111-gyel, ami 1001 többszöröse. Így már csak azokat az eseteket kell megvizsgálni, ahol előfordulnak azonos számjegyek a sorsjegy sorszámában. Ekkor lehetséges, hogy nem tudunk 48 db különböző számot képezni a számjegyekből. Az viszont biztos, hogy minden számjegy előfordul minden helyiértéken, ráadásul mindegyiken ugyanannyiszor, így a 111 111-gyel, és így az 1001-gyel való oszthatóság sem sérülhet. Tehát az összes sorszám összegéből, ami osztható 1001-gyel, kivonjuk a szerencsés sorsjegyek összegét, ami szintén osztható 1001-gyel, ezért szükségképpen a kettő különbsége is 1001 többszöröse. |
|