Kezdőlap


Feladat:	B.4193	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Botos Csongor , Szabó Attila
Füzet:	2010/május, 275 - 276. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Oszthatóság, Egész számok összege, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Kombinációk
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/szeptember: B.4193

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az összes sorszám összege:

\begin{matrix} S_{t} = \frac{0 + 999 999}{2} \cdot 1 000 000 = 999 999 \cdot 500 000 = 1001 \cdot 999 \cdot 5 000 00, \end{matrix}

ami osztható 1001-gyel.
A társaság kétféle sorsjegyet vásárolhat:

\bar{a b c a b c}

, vagy

\bar{a b c d e f}

alakút, ahol

\bar{a b c} \neq \bar{d e f}

. Az első típusú sorsjegyek sorszáma osztható 1001-gyel (

\bar{a b c a b c} = 1001 \bar{a b c}

), így ezt az összegből kivonva, az osztható marad 1001-gyel. A második típusú sorszám esetén: ha

\bar{a b c d e f}

megfelel a feltételeknek, akkor

\bar{d e f a b c}

is megfelel, mert erre a feladatban szereplő kifejezés értéke:

\begin{matrix} d c + e b + f a = a f + b e + c d = 100. \end{matrix}

A két sorszám összege:

1001 (\bar{a b c} + \bar{d e f})

, ami osztható 1001-gyel. Ezeket elvéve az összegből, az osztható marad 1001-gyel. Így az összes megfelelő sorszámot az összegből kivonva, a maradék összege 1001-gyel osztható.

II. megoldás. Az összes sorsjegy sorszámainak összege:

\begin{matrix} 0 + 1 + 2 + ... + 999 999 = \frac{999 999 \cdot 1 000 000}{2} = 999 \cdot 1001 \cdot 500 000, \end{matrix}

ami osztható 1001-gyel. Így a feladat állítása másképpen fogalmazva az, hogy a szerencsés sorsjegyek sorszámainak összege szintén osztható 1001-gyel. Az olyan számhatosok, amelyek kielégítik a szerencsés sorsjegy kívánalmait és a számjegyek között nincs két azonos, pontosan 48 db ilyen szerencsés sorsjegyet határoznak meg, mert az

a f

b e

és

c d

párok szabadon kicserélhetőek egymással (ez 6 lehetőséget jelent az elrendezésükre), valamint a párok két tagját is szabadon felcserélhetjük egymással (ez 8 lehetőség); ami összesen 48 db szerencsés számot jelent. Ezekben a számokban minden szám ugyanannyiszor szerepel minden helyiértéken, pontosan 8-szor, ez pedig azt jelenti, hogy ezen 48 szám összege biztosan osztható 111 111-gyel, ami 1001 többszöröse. Így már csak azokat az eseteket kell megvizsgálni, ahol előfordulnak azonos számjegyek a sorsjegy sorszámában. Ekkor lehetséges, hogy nem tudunk 48 db különböző számot képezni a számjegyekből. Az viszont biztos, hogy minden számjegy előfordul minden helyiértéken, ráadásul mindegyiken ugyanannyiszor, így a 111 111-gyel, és így az 1001-gyel való oszthatóság sem sérülhet. Tehát az összes sorszám összegéből, ami osztható 1001-gyel, kivonjuk a szerencsés sorsjegyek összegét, ami szintén osztható 1001-gyel, ezért szükségképpen a kettő különbsége is 1001 többszöröse.