Kezdőlap


Feladat:	C.987	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Buza Dániel István
Füzet:	2010/május, 269. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Tengelyes tükrözés, Szögfelező egyenes, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/április: C.987

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tekintsük az ábra jelöléseit. Ebben az eredeti háromszög csúcsai $A$ , $B$ , $C$ ; a hajtás után kapott háromszög csúcsai $B$ , $C$ , $F$ ; a kétrétegű rész csúcsai $B$ , $F$ , $G$ . Jelölje továbbá az $F A$ szakasz hosszát $a$ , ekkor szimmetria okból az $F G$ szakasz hossza is $a$ . A $B A F$ szög is egyenlő a $B G F$ szöggel; jelöljük $α$ -val.

Írjuk fel a koszinusztételt az

A B C

háromszögben:

\begin{matrix} 12^{2} = 10^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot cos α . \end{matrix}

(1)

C F

szakasz hossza

10 - a

, a

C G

szakasz hossza 4, a

G F

szakasz hossza

a

. Írjuk fel a koszinusztételt a

C F G

háromszögben is:

\begin{matrix} {(10 - a)}^{2} = 4^{2} + a^{2} - 2 \cdot 4 \cdot a \cdot cos (180^{\circ} - α) . \end{matrix}

Ekkor felhasználva az (1) egyenletet és azt, hogy

cos (180^{\circ} - α) = - cos α

\begin{matrix} {(10 - a)}^{2} & = 4^{2} + a^{2} + 8 a \cdot \frac{10^{2} + 8^{2} - 12^{2}}{2 \cdot 10 \cdot 8}, \\ 100 - 20 a + a^{2} & = 16 + a^{2} + a \cdot \frac{100 + 64 - 144}{20}, \\ 84 & = 21 a, \\ a & = 4. \end{matrix}

Tehát az

F G

szakasz hossza ugyancsak 4. Ezzel a

C F G

háromszög két oldaláról bizonyítottuk, hogy hossza 4, vagyis a háromszög egyenlőszárú.