Kezdőlap


Feladat:	4207. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Zsolczai Viktor
Füzet:	2010/április, 243 - 245. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Pontrendszerek mozgásegyenletei, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Munkatétel, Rezgőmozgás (Változó mozgás), Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/december: 4207. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ A gumiszál a megnyúlással arányos $F = D Δ ℓ$ erőt fejt ki. Abban a pillanatban, amikor az $m$ tömegű alsó labda elkezd emelkedni, a rá ható erők $F - m g$ eredője még éppen nulla, ahonnan a gumiszál ,,rugóállandója'':

\begin{matrix} D = \frac{m g}{Δ ℓ} = \frac{0, 06 kg \cdot 9, 81 \frac{m}{s^{2}}}{0, 6 m} \approx 1 \frac{N}{m} . \end{matrix}

A munkatétel értelmében egy test mozgási energiájának megváltozása megegyezik a rá ható erők munkájának előjeles összegével. Jelen esetben a felső labda sem az emelési folyamat elején, sem pedig a végén sem mozog számottevő sebességgel, tehát

Δ E_{kin} = 0

. Így

\begin{matrix} W - m g Δ ℓ - \frac{1}{2} D Δ ℓ^{2} = 0, \end{matrix}

az emelés során általunk végzett munka tehát

\begin{matrix} W = m g Δ ℓ + \frac{1}{2} D Δ ℓ^{2} = \frac{3}{2} m g Δ ℓ \approx 0, 53 J . \end{matrix}

b)

A felső labdára annak elengedésétől a másik labdához csapódásáig is alkalmazhatjuk a munkatételt. A nehézségi erő a mozgás teljes

ℓ_{0} + Δ ℓ

hosszúságú szakaszán végig hat, míg a gumikötél csak az

ℓ_{0} = 40

cm-es magasság eléréséig, ugyanis a gumikötél (a rugóktól eltérően) nem nyomódik össze. A munkatétel szerint

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{1}^{2} = m g (ℓ_{0} + Δ ℓ) + \frac{1}{2} D Δ ℓ^{2}, \end{matrix}

ahonnan a labda becsapódási sebessége:

\begin{matrix} v_{1} = \sqrt[]{2 g (ℓ_{0} + Δ ℓ) + \frac{D}{m} Δ ℓ^{2}} = \sqrt[]{g (2 ℓ_{0} + 3 Δ ℓ)} \approx 5, 1 \frac{m}{s} . \end{matrix}

c)

A feladat harmadik részében a mozgást két részre kell bontanunk. Az első rész (ameddig a felső labdára ható erő az elmozdulással arányosan változik) harmonikus rezgőmozgással írható le, ez a gumikötél nyújtatlan állapotáig tart. Ezután a labda szabadon esik, mozgása tehát valamekkora kezdősebességgel induló függőleges hajítás.
Tételezzük fel, hogy a gumiszál tökéletes, összenyomódásra is képes rugóként viselkedik. (Ez elfogadható feltevés, hiszen a rezgőmozgásnak úgyis csak azt a szakaszát vizsgáljuk, amelyben a szál még nem nyomódott össze.) A teniszlabda ekkor (a megtett úttal arányosan változó rugóerő és a konstans nehézségi erő hatására) olyan harmonikus rezgőmozgást végez, melynek egyensúlyi helyzete ott lesz, ahol a labdára ható nehézségi erő és a rugóerő nagysága megegyezik:

\begin{matrix} D Δ ℓ' = m g, vagyis Δ ℓ' = \frac{m g}{D} = 0, 6 m. \end{matrix}

Ha tehát a gumikötél tökéletes rugóként viselkedne, a labda egyensúlyi helyzete a kötél nyújtatlan állapotától 0,6 méterrel mélyebben, vagyis 0,2 m-rel a talajszint alatt lenne. Tekintve, hogy a labda mozgásának felső fordulópontja a talajszint felett 1 méterre van, a rezgőmozgás amplitúdója

A = 1, 2

m.
A gumiszál akkor lazul meg, amikor a lefelé mozgó labda a talajtól 0,4 méterre, vagyis a rezgőmozgás egyensúlyi helyzetétől

0, 6 m = \frac{A}{2}

távolságban van. A nulla kezdősebességű rezgőmozgás

\begin{matrix} y (t) = A cos ω t, ω = \sqrt[]{\frac{D}{m}} \end{matrix}

általános képletébe behelyettesítve a kiszámított adatokat a mozgás első szakaszának

t_{1}

időtartamára kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{A}{2} = A cos (ω t_{1}), vagyis ω t_{1} = \frac{π}{3}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} t_{1} = \frac{π}{3 ω} = \frac{π}{3} \sqrt[]{\frac{m}{D}} = \frac{π}{3} \sqrt[]{\frac{Δ ℓ}{g}} \approx 0, 26 s. \end{matrix}

A második szakasz időtartamának kiszámításához ismernünk kell a függőleges hajítás

v_{0}

kezdősebességét. Ezt ismét munkatétellel számolhatjuk:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} D Δ ℓ^{2} + m g Δ ℓ = \frac{3}{2} m g Δ ℓ, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} v_{0} = \sqrt[]{3 g Δ ℓ} = 4, 2 \frac{m}{s} . \end{matrix}

A szabadesés idejét például az egyenletesen gyorsuló mozgás

\begin{matrix} \frac{v_{1} - v_{0}}{t_{2}} = g \end{matrix}

összefüggéséből határozhatjuk meg, ahol

v_{1}

b)

kérdésnél kiszámított becsapódási sebesség. Innen

\begin{matrix} t_{2} = \frac{5, 1 - 4, 2}{9, 8} s \approx 0, 09 s, \end{matrix}

a felső labda teljes mozgásideje pedig

\begin{matrix} T = t_{1} + t_{2} \approx 0, 35 s . \end{matrix}

Megjegyzések. 1. Sok megoldó a

c)

kérdésben szereplő mozgás első szakaszának idejét a változó gyorsulású mozgás átlagos gyorsulásának segítségével próbálta meghatározni. Úgy érveltek, hogy a felső labda gyorsulása az indulás pillanatában

2 g

, a gumiszál nyújtatlan állapotának elérésekor pedig csak

g

, tehát átlagosan

1, 5 g

gyorsulással számolhatunk. Ez azonban hibás eredményre vezet! A gyorsulás ugyanis a megtett úttal arányosan változik, nem pedig az eltelt idővel, emiatt az ,,átlagos'' gyorsulás nem a kezdeti és végső gyorsulás számtani közepe, hanem ‐ a harmonikus rezgőmozgás képleteinek felhasználásával ‐ csak bonyolultabb módon számítható ki. A kétféle számítás eredménye között numerikusan kicsiny, mindössze 0,02 s az eltérés.
2. Néhányan úgy számították ki a felső labda mozgásidejét, hogy a labda által megtett utat sok kicsiny részre osztották, mindegyik szakasz elejéhez és végéhez tartozó sebességet a munkatételből határozták meg, majd a kicsiny szakaszon a kezdő- és végsebesség átlagával (számtani közepével) számolt egyenletes mozgás képleteit alkalmazták. Ez elvileg helyes, numerikus közelítő megoldás, amely ‐ a felosztás finomításával ‐ tetszőlegesen megközelíti a ,,pontos'' megoldást. Ennek a módszernek az az előnye, hogy elvben tetszőleges mozgás leírására alkalmas, nem csak az ismert típusú mozgásokra, továbbá könnyen programozható.