Feladat: 4202. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bolgár Dániel ,  Farkas Martin ,  Galzó Ákos Ferenc ,  Hartstein Máté ,  Lájer Márton ,  Pálovics Péter ,  Patartics Bálint ,  Sápi András ,  Szabó Attila ,  Tamás Zsolt ,  Timkó Réka ,  Varju Tamás ,  Vécsey Máté 
Füzet: 2010/április, 240 - 242. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, GM-cső, Gömbhullám intenzitáscsökkenése
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/november: 4202. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Feltételezzük, hogy a sugárforrás gömbszimmetrikusan bocsát ki γ-fotonokat, és ezek a forrás és a detektor között szabadon, elnyelődés- és szóródásmentesen terjednek. Ha a forrás percenként Nf fotont bocsát ki, és a detektor érzékelő felülete A területű, akkor az R távolságban lévő érzékelő percenként

N(R)=NfA4πR2
beütést fog jelezni.
 
Megjegyzés. Ha a detektor csak η<1 hatásfokkal jelzi a becsapódó fotonokat, akkor a fenti képletben Nf helyébe ηNf írandó; ennek a tényezőnek azonban a továbbiakban nem lesz jelentősége.
 

Az érzékelő felület R távolsága a forrás és a GM-cső ablakának mérhető r távolságából és egy ismeretlen d mélységi adatból tevődik össze:
R=r+d.
Ezen elméleti megfontolás szerint a megadott r távolságok és a hozzájuk tartozó beütésszámok közötti kapcsolat:
N(r)=NfA4π(r+d)2=állandó⋅1(r+d)2.
Ezt az összefüggést a megadott adatpárok közül bármely kettőre alkalmazva és a hányadosukat képezve az ismeretlen állandó kiejthető:
N1N2=(r2+d)2(r1+d)2.(1)
Ez d-re nézve másodfokú egyenletté alakítható és megoldható. Ha például az első két adatpárból számolunk (és a centméterben mért távolságok mértékegységét nem írjuk ki), akkor a

487196=(3+d)2(1+d)2,291d2-202d-1277=0


egyenletet kapjuk, melynek fizikailag elfogadható (pozitív) gyöke: d=2,47 cm. Ezt a d értéket visszaírva (1)-be és az arányt most r1=1 cm és r2=12 cm távolságokra alkalmazva a keresett beütésszámra
N(r=12cm)=N12=(1+2,47)2(12+2,47)2⋅487≈28
értéket kapjuk.
Ugyanezt a számolást más értékpárokkal, pl. a táblázat első és utolsó számoszlopával (az r=1 cm-nek és az r=9 cm-nek megfelelő adatokkal) is elvégezhetjük. Ezekből d=2,27 cm-t és N12≈26 beütést kapunk. A rendelkezésünkre álló valamennyi adatpárból kiszámolhatjuk d-t és N12-t, majd ezek valamilyen átlagát képezve pontosíthatjuk becslésünket.
 
II. megoldás. Az I. megoldás gondolatmenetét követve eljutunk odáig, hogy a beütésszám az r távolságtól
N(r)=állandó⋅1(r+d)2.(2)
módon függ. Ebből az összefüggésből szeretnénk ‐ a megadott mérési adatok felhasználásával ‐ minél pontosabban ,,kihámozni'' az ismeretlen d mennyiséget.
Észrevehetjük, hogy (2) átírható
1N=állandó⋅(r+d)
alakra (ahol az ,,állandó'' természetesen más, mint a (2)-ben szereplő állandó mennyiség). Eszerint, ha az 1N mennyiséget r függvényében ábrázoljuk, a lineáris kapcsolat miatt egy egyenest kell kapjunk, amelynek tengelymetszete éppen -d. (Az, hogy a mérési adatoknak megfelelő pontok milyen pontosan illeszkednek egy egyenesre, felvilágosítást adhat az elméleti megfontolásunk megalapozottságáról, illetve a mérés pontosságáról is.)
A grafikonról leolvashatjuk, hogy jelen esetben a tengelymetszet
-d≈-2,3cm,  
és ennek a becslésnek a bizonytalansága kb. 0,2 cm. A szaggatott vonalak a szemmel illesztett (a ,,még talán elfogadható'') egyeneseket jelölik. Számítógéppel ennél megalapozottabb illesztési eljárások is könnyen elvégezhetők.
 
 

Az illesztett egyenesek r=12 cm-nél 1/N-re 0,195±0,01-et adnak, a várt beütésszám tehát ennél a távolságnál 26±3.