Feladat: 4200. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Roboz Klaudia 
Füzet: 2010/április, 238 - 240. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Váltóáramú ellenállás (impedancia)
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/november: 4200. fizika feladat

230 V-os, 50 Hz-es hálózatról működtetünk két egyforma fénycsövet, egy-egy ugyanolyan tekerccsel sorbakötve. Az egyik fénycsővel még egy kondenzátort is sorbakapcsoltunk. Ezzel elértük, hogy amikor az egyik fénycső árama maximális, akkor a másiké zérus, és fordítva (antistroboszkopikus megvilágítás). Mindkét ágban az effektív teljesítmény 8 W. Mekkora egy fénycső és a hozzákapcsolt tekercs együttes ohmos ellenállása üzem közben? Mekkora a kondenzátor kapacitása és a tekercsek induktivitása?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az antistroboszkopikus megvilágítás akkor valósul meg, ha a két (párhuzamosan kapcsolt) fénycső árama között 90-os a fáziseltolódás. A hasznos (effektív) teljesítményt mindkét ágban (lásd az 1. ábrát) a

P=UIcosφ=UUZRZ=U2RZ2
képlet alapján számíthatjuk, ahol U=230V a hálózati feszültség effektív értéke, Z a sorosan kapcsolt elemek impedanciája, R pedig az impedancia ohmos része.
 

 
1. ábra
 

A két ágban (melyek csak egy kapacitív tagban különböznek) az ohmos ellenállás nyilván ugyanakkora. A két ág effektív teljesítménye csak úgy lehet egyforma nagy, hogy az impedanciájuk megegyezik. Ennek következtében az áramerősségek effektív értéke is ugyanakkora mindkét ágban, és a fázistényezők is megegyeznek (2. ábra):
Z1=Z2,I1=I2éscosφ1=cosφ2.

 
 

2. ábra
 

A fázistényezők egyenlősége és az antistroboszkopikus megvilágításból adódó
φ1-φ2=90
feltétel csak úgy teljesülhet, ha
φ1=45ésφ2=-45.
Innen adódik, hogy mindkét fénycsövön
I=PUcos45=8W230V250mA
effektív értékű áram folyik, az impedancia nagysága mindkét ágban
Z=UI=230V50mA=4,6kΩ,
az ohmos ellenállás pedig
R=Zcosφ=4,6kΩ0,707=3,3kΩ.

A fázisszögek ismeretében számolhatjuk az induktív és kapacitív ellenállásokat:
XL=2πfL=R=3,3kΩ,
ahonnan a tekercs induktivitására
L=3,3kΩ314Hz10H  
adódik, illetve az XC-XL=R feltételből
XC=12πfC=2R=6,6kΩ,
melyből a kondenzátor kapacitására
C=1314Hz6,6kΩ=0,48μF  
adódik.