Kezdőlap


Feladat:	4200. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Roboz Klaudia
Füzet:	2010/április, 238 - 240. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Feladat, Váltóáramú ellenállás (impedancia)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/november: 4200. fizika feladat

230 V-os, 50 Hz-es hálózatról működtetünk két egyforma fénycsövet, egy-egy ugyanolyan tekerccsel sorbakötve. Az egyik fénycsővel még egy kondenzátort is sorbakapcsoltunk. Ezzel elértük, hogy amikor az egyik fénycső árama maximális, akkor a másiké zérus, és fordítva (antistroboszkopikus megvilágítás). Mindkét ágban az effektív teljesítmény 8 W. Mekkora egy fénycső és a hozzákapcsolt tekercs együttes ohmos ellenállása üzem közben? Mekkora a kondenzátor kapacitása és a tekercsek induktivitása?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az antistroboszkopikus megvilágítás akkor valósul meg, ha a két (párhuzamosan kapcsolt) fénycső árama között $90^{\circ}$ -os a fáziseltolódás. A hasznos (effektív) teljesítményt mindkét ágban (lásd az 1. ábrát) a

\begin{matrix} P = U \cdot I \cdot cos φ = U \cdot \frac{U}{Z} \cdot \frac{R}{Z} = \frac{U^{2} R}{Z^{2}} \end{matrix}

képlet alapján számíthatjuk, ahol

U = 230

V a hálózati feszültség effektív értéke,

Z

a sorosan kapcsolt elemek impedanciája,

R

pedig az impedancia ohmos része.

1. ábra

A két ágban (melyek csak egy kapacitív tagban különböznek) az ohmos ellenállás nyilván ugyanakkora. A két ág effektív teljesítménye csak úgy lehet egyforma nagy, hogy az impedanciájuk megegyezik. Ennek következtében az áramerősségek effektív értéke is ugyanakkora mindkét ágban, és a fázistényezők is megegyeznek (2. ábra):

\begin{matrix} Z_{1} = Z_{2}, I_{1} = I_{2} és cos φ_{1} = cos φ_{2} . \end{matrix}

2. ábra

A fázistényezők egyenlősége és az antistroboszkopikus megvilágításból adódó

\begin{matrix} φ_{1} - φ_{2} = 90^{\circ} \end{matrix}

feltétel csak úgy teljesülhet, ha

\begin{matrix} φ_{1} = 45^{\circ} és φ_{2} = - 45^{\circ} . \end{matrix}

Innen adódik, hogy mindkét fénycsövön

\begin{matrix} I = \frac{P}{U cos 45^{\circ}} = \frac{8 W}{230 V} \sqrt[]{2} \approx 50 mA \end{matrix}

effektív értékű áram folyik, az impedancia nagysága mindkét ágban

\begin{matrix} Z = \frac{U}{I} = \frac{230 V}{50 mA} = 4, 6 k Ω, \end{matrix}

az ohmos ellenállás pedig

\begin{matrix} R = Z \cdot cos φ = 4, 6 k Ω \cdot 0, 707 = 3, 3 k Ω . \end{matrix}

A fázisszögek ismeretében számolhatjuk az induktív és kapacitív ellenállásokat:

\begin{matrix} X_{L} = 2 π \cdot f \cdot L = R = 3, 3 k Ω, \end{matrix}

ahonnan a tekercs induktivitására

\begin{matrix} L = \frac{3, 3 k Ω}{314 Hz} \approx 10 H \end{matrix}

adódik, illetve az

X_{C} - X_{L} = R

feltételből

\begin{matrix} X_{C} = \frac{1}{2 π \cdot f \cdot C} = 2 R = 6, 6 k Ω, \end{matrix}

melyből a kondenzátor kapacitására

\begin{matrix} C = \frac{1}{314 Hz \cdot 6, 6 k Ω} = 0, 48 μ F \end{matrix}

adódik.