A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Az elektromos mező gömbszimmetrikus Coulomb-mező lesz, melynek erősségét a középponttól távolságban ‐ Gauss törvénye szerint ‐ az sugarú gömb belsejében található össztöltés határozza meg: Ugyanilyen elektromos mező alakul ki egy gömbkondenzátor belsejében is, ha a kondenzátort töltéssel látjuk el. Ismeretes, hogy az és () sugarú gömbhéjakkal határolt gömbkondenzátor kapacitása: amely összefüggést alakban is felírhatunk. Ismert méretű és ismert töltésű gömbkondenzátorok fegyverzetei közötti feszültség (potenciálkülönbség) könnyen kiszámítható, s a feszültségek összegzésével maga a potenciál is meghatározható. Az sugarú gömbön belül nincs töltés, a térerősség tehát ebben a térrészben mindenhol nulla. Emiatt a középpont és a belső gömbhéj között nincs feszültség, a belső gömb potenciálja tehát Az és sugarú gömbhéjaknak megfelelő kondenzátor kapacitása (1) alapján: Egy ilyen kapacitású, töltésű kondenzátor feszültsége ez a megadott számadatokkal V, azaz 90 kV. Mivel az elektromos térerősség ,,kifelé'' mutat, a külső gömbhéj potenciálja kisebb, mint a belsőé: | |
A kapacitás és a töltés ismeretében a vizsgált térrészben tárolt elektrosztatikus energia is kiszámítható. Az általános képlet: jelen esetben | |
Hasonló módon adódik, hogy és mivel a térrészben az elektromos mező össztöltés Coulomb-terével egyezik meg, a feszültség | | Ebben a térrészben is kifelé csökken a potenciál, így | | Az elektrosztatikus energia ebben a térrészben: | |
A középponttól távolságban az elektrosztatikus potenciál egy és sugarú gömbhéjakkal jellemzett kapacitású és töltésű gömbkondenzátor segítségével számítható ki (jóllehet sugarú gömb ténylegesen nincs jelen a megadott elrendezésben!). Az ,,elképzelt'' kondenzátor feszültsége | | a potenciál pedig a kérdéses helyen: | |
Végül a sugarú gömbön kívüli térrész energiája egy töltésű, sugarú, tehát kapacitású gömbkondenzátor energiájaként adódik:
Megjegyzés. Érdekes, hogy és távolságok között ugyanakkora a feszültség, mint és , illetve és között. Ez annak következménye, hogy az egyes gömbhéjak töltése a sugarukkal arányos. Ha a gömbhéj-sorozatot tovább folytatnánk, és az sugarú gömbhéjat töltéssel látnánk el (), akkor az -edik és -edik gömbhéjnak megfelelő kondenzátor kapacitása (1) szerint: Mivel a kondenzátor elektromos tere | | össztöltés Coulomb-terével megegyező, a kondenzátor feszültsége vagyis független -től. Ha nagyon sok gömbhéjat helyezünk el a leírt módon, a kialakuló elektromos potenciál az lineáris függvénnyel, az elrendezés térfogati töltéssűrűsége pedig a függvénnyel közelíthető.
|