Feladat: 4192. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Batki Bálint ,  Filep Gábor ,  Galzó Ákos Ferenc 
Füzet: 2010/április, 233 - 235. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Pontszerű elektromos töltés, Elektromos mező energiája, energiasűrűsége
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/október: 4192. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az elektromos mező gömbszimmetrikus Coulomb-mező lesz, melynek erősségét a középponttól r távolságban ‐ Gauss törvénye szerint ‐ az r sugarú gömb belsejében található q össztöltés határozza meg:

E(r)=kqr2.
Ugyanilyen elektromos mező alakul ki egy gömbkondenzátor belsejében is, ha a kondenzátort ±q töltéssel látjuk el.
Ismeretes, hogy az R1 és R2 (R1<R2) sugarú gömbhéjakkal határolt gömbkondenzátor kapacitása:
CR1,R2=4πε0R2R1R2-R1,
amely összefüggést
1CR1,R2=k(1R1-1R2)(1)
alakban is felírhatunk.
Ismert méretű és ismert töltésű gömbkondenzátorok fegyverzetei közötti feszültség (potenciálkülönbség) könnyen kiszámítható, s a feszültségek összegzésével maga a potenciál is meghatározható.
Az R sugarú gömbön belül nincs töltés, a térerősség tehát ebben a térrészben mindenhol nulla. Emiatt a középpont és a belső gömbhéj között nincs feszültség, a belső gömb potenciálja tehát
U(R)=0.

Az R és 2R sugarú gömbhéjaknak megfelelő kondenzátor kapacitása (1) alapján:
CR,2R=2Rk.
Egy ilyen kapacitású, Q töltésű kondenzátor feszültsége
UR,2R=QCR,2R=kQ2R,
ez a megadott számadatokkal 9104 V, azaz 90 kV. Mivel az elektromos térerősség ,,kifelé'' mutat, a külső gömbhéj potenciálja kisebb, mint a belsőé:
U(2R)=U(R)-UR,2R=0-kQ2R=-90kV.  

A kapacitás és a töltés ismeretében a vizsgált térrészben tárolt elektrosztatikus energia is kiszámítható. Az általános képlet:
W=(q)22C,
jelen esetben
WR,2R=Q22CR,2R=kQ24R=0,09J.

Hasonló módon adódik, hogy
C2R,3R=6Rk,
és mivel a 2R<r<3R térrészben az elektromos mező q=Q+2Q=3Q össztöltés Coulomb-terével egyezik meg, a feszültség
U2R,3R=3QC2R,3R=kQ2R=90kV.  
Ebben a térrészben is kifelé csökken a potenciál, így
U(3R)=U(2R)-U2R,3R=-180kV.  
Az elektrosztatikus energia ebben a térrészben:
W2R,3R=(3Q)22C2R,3R=k3Q24R=0,27J.

A középponttól r=4R távolságban az elektrosztatikus potenciál egy 3R és 4R sugarú gömbhéjakkal jellemzett
C3R,4R=12Rk
kapacitású és
q=Q+2Q+3Q=6Q
töltésű gömbkondenzátor segítségével számítható ki (jóllehet r=4R sugarú gömb ténylegesen nincs jelen a megadott elrendezésben!). Az ,,elképzelt'' kondenzátor feszültsége
U3R,4R=6QC3R,4R=kQ2R=90kV,  
a potenciál pedig a kérdéses helyen:
U(4R)=U(3R)-U3R,4R=-270kV.  

Végül a 3R sugarú gömbön kívüli térrész energiája egy 6Q töltésű, 3R sugarú, tehát
C3R,=3Rk
kapacitású gömbkondenzátor energiájaként adódik:
Wr>3R=k6Q2R=2,16J.

 
Megjegyzés. Érdekes, hogy R és 2R távolságok között ugyanakkora a feszültség, mint 2R és 3R, illetve 3R és 4R között. Ez annak következménye, hogy az egyes gömbhéjak töltése a sugarukkal arányos.
Ha a gömbhéj-sorozatot tovább folytatnánk, és az Rn=nR sugarú gömbhéjat Qn=nQ töltéssel látnánk el (n=1,2,3,4,...), akkor az n-edik és (n+1)-edik gömbhéjnak megfelelő kondenzátor kapacitása (1) szerint:
CnR,nR+R=n(n+1)Rk.
Mivel a kondenzátor elektromos tere
Qn=Q+2Q+3Q+...+nQ=n(n+1)2Q
össztöltés Coulomb-terével megegyező, a kondenzátor feszültsége
U(nR,nR+R)=QnCn=kQ2R,
vagyis független n-től.
Ha nagyon sok (n1) gömbhéjat helyezünk el a leírt módon, a kialakuló elektromos potenciál az U(r)=állandór lineáris függvénnyel, az elrendezés térfogati töltéssűrűsége pedig a ϱ(r)=állandó1r függvénnyel közelíthető.