Kezdőlap


Feladat:	B.4209	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kiss Melinda Flóra
Füzet:	2010/április, 223 - 224. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Háromszög nevezetes vonalai, Magasságpont, Húrnégyszögek, Thalesz tétel és megfordítása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/október: B.4209

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Először belátunk egy segédállítást. Az $A B C$ háromszögben a $B$ -ből induló súlyvonal az $A C$ oldalt $P$ -ben metszi, a háromszög köré írt kört pedig $D$ -ben (1. ábra). Azt állítjuk, hogy ha az
$A B P ∢ = δ = D C P ∢$ , és $B A P ∢ = ε = C D P ∢$ , tehát az $A B P$ és $C D P$ háromszögek hasonlóak, akkor az $A B C D$ konvex négyszög húrnégyszög.

1. ábra

A B D

háromszög köré írt körben az

A B D

körív pontjaiból az

A D

szakasz

δ

szög alatt látszik. Mivel az

A B D ∢ = δ = A C D ∢

, emiatt a

C

pont is rajta van ezen a köríven. Tehát az

A B C D

négyszög húrnégyszög, és ekkor az is igaz lesz, hogy

B A P ∢ = ε = C D P ∢

, mert ezek a

B C

húrhoz tartozó kerületi szögek.
Ezután térjünk át a feladat állítására. Rajzoljuk meg az

A B C

háromszögben az

A

-ból és

B

-ből induló magasságvonalakat, talppontjuk

A_{1}

, illetve

B_{1}

(2. ábra). A

B

-ből induló súlyvonal

A C

-t

F

-ben metszi, az

A B

felezőpontja legyen

F_{1}

, valamint az

A A_{1}

és

B F

metszéspontja legyen

Q

. Ha

B_{1} C = 3 A B_{1}

, akkor ‐ mivel a háromszög hegyesszögű ‐

B_{1}

rajta van az

A C

szakaszon, ezért

A B_{1} = B_{1} F

. Legyen

B_{1} B F ∢ = δ

, és

A_{1} B P ∢ = ε

2. ábra

Most azt látjuk be, hogy ha

B_{1} C = 3 A B_{1}

, tehát

A B_{1} = B_{1} F

, akkor

B P M ∢ = 90^{\circ}

. Megmutatjuk, hogy ekkor

A B B_{1} ∢ = δ

. Mivel a

Q A_{1} B

szög

90^{\circ}

, az

A_{1} Q B

szög

90^{\circ} - ε

, tehát az

M Q B ∢ = P Q A_{1} ∢ = = 90^{\circ} + ε

, emiatt a

Q M B ∢ = 90^{\circ} - δ - ε

. Mivel az

A A_{1} B ∢ = A B_{1} B ∢ = 90^{\circ}

, a Thalész-tétel miatt

A_{1}

és

B_{1}

rajta van azon a körön, melynek középpontja

F_{1}

, és a sugara

\frac{A B}{2}

. Emiatt az

A B A_{1} B_{1}

négyszög húrnégyszög, tehát

A A_{1} B_{1} ∢ = A B B_{1} ∢ = δ

. Ezért a

Q P A_{1} ∢ = 90^{\circ} - δ - ε

. Ekkor az

A_{1} P B ∢ = A_{1} M B ∢

, és

P A_{1} M ∢ = P B M ∢

, tehát a

P A_{1} Q

és

M Q B

háromszögek hasonlók. Így alkalmazhatjuk a segédállítást, vagyis az

M B A_{1} P

négyszög húrnégyszög. Emiatt az

M A_{1} B ∢ = M P B ∢ = 90^{\circ}

, tehát igaz, hogy ha

B_{1} C = 3 A B_{1}

, akkor

B P M ∢ = 90^{\circ}

.
Végül pedig azt bizonyítjuk be, hogy ha

B P M ∢ = 90^{\circ}

, akkor

A B_{1} = B_{1} F

, és mivel a háromszög hegyesszögű,

B_{1} C = 3 A B_{1}

. Az előző esethez hasonlóan számolva

A_{1} Q B ∢ = 90^{\circ} - ε

, az

M Q B ∢ = 90^{\circ} + ε

, és a

P M B ∢ = 90^{\circ} - δ - ε

. Mivel az

M P B ∢ = M A_{1} B ∢ = 90^{\circ}

, ezért az

M P A_{1} P

négyszög húrnégyszög. Ekkor az

M B P ∢ = M A_{1} P ∢ = δ

, és az

\begin{matrix} A_{1} M B ∢ = A_{1} P B ∢ = 90^{\circ} - δ - ε . \end{matrix}

Tudjuk, hogy az

A B A_{1} B_{1}

négyszög húrnégyszög. Tehát az

\begin{matrix} A A_{1} B_{1} ∢ = A B B_{1} ∢ = δ, \end{matrix}

vagyis az

A B B_{1} ∢ = B_{1} B F ∢

. Ekkor az

A B B_{1}

és

B_{1} B F

háromszögekben a megfelelő szögek megegyeznek, a

B_{1} B

oldal pedig közös, tehát ez a két háromszög egybevágó, emiatt

A B_{1} = B_{1} F

, ezért

B_{1} C = 3 A B_{1}

.
Tehát valóban a

B P M

pontosan akkor derékszög, ha

B_{1} C = 3 A B_{1}