Kezdőlap


Feladat:	B.4204	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beke Lilla , Szórádi Márk , Udvari Benjámin
Füzet:	2010/április, 221 - 222. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Szorzat, hatványozás azonosságai, Konstruktív megoldási módszer
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/október: B.4204

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tegyük fel, hogy $a b$ értéke hiányzik. Tudjuk, hogy $a d \cdot b c = a c \cdot b d = a b \cdot c d = a b c d$ . Mivel a szorzatok között $a c$ és $b d$ , illetve $a d$ és $b c$ is megtalálható, nekik szorzatként egyenlő értéket kell adniuk. Írjuk fel a 2, 3, 4, 5, 6 számok páronkénti szorzataiból képezhető összes számot: 6, 8, 10, 12, 12, 15, 18, 20, 24, 30. Egyedül a 12 fordul elő kétszer, ezért $a d \cdot b c = a c \cdot b d = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 = 12$ .
Mivel az 5 marad pár nélkül, $c d = 5$ . Tehát

\begin{matrix} a b = \frac{a b c d}{c d} = \frac{12}{5} \end{matrix}

a hatodik szorzat.

II. megoldás. Az ismeretlen értékű szorzat legyen

a b

. Ekkor

\begin{matrix} a c \cdot a d \cdot b c \cdot b d \cdot c d = \frac{a^{3} b^{3} c^{3} d^{3}}{a b} = 720, tehát a b = \sqrt[]{\frac{720}{c^{3} d^{3}}} . \end{matrix}

Ismerjük

a c

és

b d

értékét és

a c \cdot b d = a b \cdot c d

, vagyis

a b \cdot c d

két ismert érték szorzataként megkapható:

\begin{matrix} a b \cdot c d \in {6; 8; 10; 12; 15; 18; 20; 24; 30} = A, c d \in {2; 3; 4; 5; 6} . \end{matrix}

c d = 2

, akkor

\begin{matrix} a b = \sqrt[]{\frac{720}{c^{3} d^{3}}} = \sqrt[]{90}, c d \cdot a b = 2 \sqrt[]{90} = 6 \sqrt[]{10} \notin A \Rightarrow c d \neq 2. \end{matrix}

c d = 3

, akkor

\begin{matrix} a b = \sqrt[]{\frac{720}{c^{3} d^{3}}} = \sqrt[]{\frac{80}{3}}, c d \cdot a b = 3 \sqrt[]{\frac{80}{3}} = \sqrt[]{240} \notin A \Rightarrow c d \neq 3. \end{matrix}

c d = 4

, akkor

\begin{matrix} a b = \sqrt[]{\frac{720}{c^{3} d^{3}}} = \sqrt[]{\frac{45}{4}}, c d \cdot a b = 4 \sqrt[]{\frac{45}{4}} = \sqrt[]{180} \notin A \Rightarrow c d \neq 4. \end{matrix}

c d = 5

, akkor

\begin{matrix} a b = \sqrt[]{\frac{720}{c^{3} d^{3}}} = \sqrt[]{\frac{144}{25}} = \frac{12}{5}, c d \cdot a b = 5 \frac{12}{5} = 12 \in A \Rightarrow c d lehet 5. \end{matrix}

c d = 6

, akkor

\begin{matrix} a b = \sqrt[]{\frac{720}{c^{3} d^{3}}} = \sqrt[]{\frac{10}{3}}, c d \cdot a b = 6 \sqrt[]{\frac{10}{3}} = \sqrt[]{120} \notin A \Rightarrow c d \neq 6. \end{matrix}

Ezért

c d

értéke csak 5 lehet. Ha

\begin{matrix} a = \frac{2}{\sqrt[]{\frac{10}{3}}}, b = \frac{4}{\sqrt[]{\frac{10}{3}}}, c = \sqrt[]{\frac{10}{3}}, d = \frac{5}{\sqrt[]{\frac{10}{3}}}, \end{matrix}

akkor

a b = \frac{12}{5}

b c = 4

a c = 2

c d = 5

a d = 3

b d = 6

. Tehát meg tudunk adni négy számot úgy, hogy teljesüljenek a feladat feltételei. A hatodik szorzat értéke

\frac{12}{5}