Kezdőlap


Feladat:	B.4201	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Repka Dániel
Füzet:	2010/április, 220 - 221. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Paraméteres egyenlőtlenségek, Algebrai átalakítások, ( x + 1/x ) > = 2 ( x > 0 )
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/szeptember: B.4201

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy $a \leq b \leq c$ . Egyszerűsítsük az első törtet $a b$ -vel, a másodikat $b c$ -vel, a harmadikat $a c$ -vel:

\begin{matrix} \frac{1}{\frac{a}{b} + 3 \frac{b}{a}} + \frac{1}{\frac{b}{c} + 3 \frac{c}{b}} + \frac{1}{\frac{c}{a} + 3 \frac{a}{c}} \leq \frac{3}{4} . \end{matrix}

Tudjuk, hogy egy pozitív szám és reciprokának összege legalább 2, így elég bizonyítani, hogy:

\begin{matrix} \frac{1}{2 + 2 \frac{b}{a}} + \frac{1}{2 + 2 \frac{c}{b}} + \frac{1}{2 + 2 \frac{a}{c}} \leq \frac{3}{4} . \end{matrix}

Ekvivalens átalakításokat végezve ebből:

\begin{matrix} \frac{a}{a + b} + \frac{b}{b + c} + \frac{c}{a + c} & \leq \frac{3}{2}, \\ \frac{a}{a + b} - \frac{1}{2} + \frac{b}{b + c} - \frac{1}{2} + \frac{c}{a + c} - \frac{1}{2} & \leq 0, \\ \frac{a - b}{2 (a + b)} + \frac{b - c}{2 (b + c)} + \frac{c - a}{2 (a + c)} & \leq 0, \\ \frac{(a - b) (b + c) (a + c) + (b - c) (a + b) (c + a) + (c - a) (a + b) (b + c)}{2 (a + b) (b + c) (a + c)} & \leq 0, \\ (a + c) [(a - b) (b + c) + (b - c) (a + b)] + (c - a) (a + b) (b + c) & \leq 0, \\ (a + c) (2 a b - 2 b c) + (c - a) (a + b) (b + c) & \leq 0, \\ (a - c) [2 b (a + c) - (a + b) (b + c)] & \leq 0, \\ (a - c) (a b - a c + b c - b^{2}) & \leq 0, \\ (a - c) (c - b) (b - a) & \leq 0. \end{matrix}

Ez pedig

a \leq b \leq c

esetén igaz, így a bizonyítandó egyenlőtlenség is az.