Kezdőlap


Feladat:	B.4196	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kovács Gergely , Strenner Péter
Füzet:	2010/április, 219 - 220. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Oszthatóság, Egész számok összege, Négyzetszámok összege, Binomiális együtthatók
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/szeptember: B.4196

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ismert, hogy az első $n$ pozitív egész szám összege $\frac{n (n + 1)}{2}$ , négyzetösszege pedig $\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ . Ezt felhasználva az összeg így alakítható:

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{n} \frac{k (k + 1)}{n} & = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} k^{2} + k = \frac{1}{n} \cdot (\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} + \frac{n (n + 1)}{2}) = \\ = \frac{(n + 1) (2 n + 1)}{6} + \frac{n + 1}{2} = \frac{2 n^{2} + 6 n + 4}{6} = \\ = \frac{n^{2} + 3 n + 2}{3} = \frac{(n + 1) (n + 2)}{3} . \end{matrix}

n

egésznek a 3-as maradéka 0, 1 vagy 2 lehet. Ha a maradék 1 vagy 2, akkor

(n + 1)

és

(n + 2)

közül az egyik osztható 3-mal, tehát a tört egész szám lesz, vagyis a tizedesvessző után 0 áll. Ha pedig

n

osztható 3-mal, akkor

(n + 1)

maradéka 1,

(n + 2)

-é pedig 2, és így szorzatuk 2-t ad maradékul. Ez esetben a tizedesvessző utáni első számjegy a 6.

II. megoldás. Felhasználva, hogy

(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1}) = (\binom{n + 1}{k + 1})

, a következő átalakításokat végezzük:

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{n} \frac{k (k + 1)}{n} = \frac{2}{n} \cdot \sum_{k = 1}^{n} \frac{k (k + 1)}{2} = \frac{2}{n} \cdot \sum_{k = 1}^{n} (\binom{k + 1}{2}) = \\ = \frac{2}{n} \cdot (\sum_{k = 3}^{n} (\binom{k + 1}{2}) + (\binom{2}{2}) + (\binom{3}{2})) = \frac{2}{n} \cdot (\sum_{k = 3}^{n} (\binom{k + 1}{2}) + (\binom{3}{3}) + (\binom{3}{2})) = \\ = \frac{2}{n} \cdot (\sum_{k = 4}^{n} (\binom{k + 1}{2}) + (\binom{4}{2}) + (\binom{4}{3})) = \frac{2}{n} \cdot (\sum_{k = 5}^{n} (\binom{k + 1}{2}) + (\binom{5}{2}) + (\binom{5}{3})) = \\ = ... = \frac{2}{n} ((\binom{n + 1}{2}) + (\binom{n + 1}{3})) = \frac{2}{n} \cdot (\binom{n + 2}{3}) = \\ = \frac{2 \cdot (n + 2)!}{n \cdot 3! \cdot (n - 1)!} = \frac{(n + 1) (n + 2)}{3} . \end{matrix}

n

nem osztható 3-mal, akkor

\frac{(n + 1) (n + 2)}{3}

értéke egész, ezért nincs tizedesvessző (vagy ha van, akkor az utána következő számjegy

0

). Ha

3 ∣ n

, akkor az

(n + 1) (n + 2)

3

-as maradéka 2, így a tizedesvessző utáni első számjegy a 6.