Kezdőlap


Feladat:	B.4185	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Éles András , Frankl Nóra
Füzet:	2010/április, 217 - 218. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Oszthatóság, Műveletek polinomokkal
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/május: B.4185

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a vizsgált polinom $P (x) \neq 0$ , ezt szeretnénk olyan $Q (x) \neq 0$ polinommal szorozni, amire a $P (x) Q (x)$ polinomban minden tag kitevője osztható 3-mal.
Legyen $S_{n} (x)$ ( $n = 1,2,3$ ) olyan polinom, amely $P (x)$ -nek az összes olyan tagját tartalmazza (előjelével, együtthatójával együtt), amelynek kitevője 3-mal osztva $n$ -et ad maradékul. Tehát $S_{1} (x) + S_{2} (x) + S_{3} (x) = P (x)$ .
Ha $S_{1} (x) = S_{2} (x) = 0$ , akkor kész vagyunk; ha nem, szorozzuk meg $P (x)$ -et $(S_{1} (x) - S_{2} (x))$ -szel (ami nyilván nem 0):

\begin{matrix} P (x) (S_{1} (x) - S_{2} (x)) = {S_{1}}^{2} (x) - {S_{2}}^{2} (x) + S_{3} (x) S_{1} (x) - S_{3} (x) S_{2} (x) . \end{matrix}

Ekkor

{S_{1}}^{2} (x)

-ben és

S_{3} (x) S_{2} (x)

-ben minden tag kitevője 2-t ad maradékul 3-mal osztva. (Ha elvégezzük a négyzetreemelést

{S_{1}}^{2} (x)

-ben, akkor minden kitevő két olyan számnak az összege lesz, amelyek 3-mal osztva 1-et adnak maradékul; míg

S_{3} (x) S_{2} (x)

-ben a szorzás elvégzésekor minden tag kitevője egy 3-mal osztható és egy 3-mal osztva 2 maradékot adó szám összege.)

{S_{2}}^{2} (x)

-ben és

S_{3} (x) S_{1} (x)

-ben minden tag kitevője 1-et ad maradékul 3-mal osztva. Tehát

(P (x) (S_{1} (x) - S_{2} (x)))

-ben egyik tag kitevője sem osztható 3-mal. Legyen

T_{n}

(

n = 1,2)

olyan polinom, amely

(P (x) (S_{1} (x) - S_{2} (x)))

-nek az összes olyan tagját tartalmazza (előjelével, együtthatójával együtt), amelynek kitevője 3-mal osztva

n

-et ad maradékul. Tehát

T_{1} (x) + T_{2} (x) = P (x) (S_{1} (x) - S_{2} (x))

.
Szorozzuk meg

(P (x) (S_{1} (x) - S_{2} (x)))

-et

(T_{1}^{2} (x) - T_{1} (x) T_{2} (x) + T_{2}^{2} (x))

-szel (ami nem 0):

\begin{matrix} P (x) (S_{1} (x) - S_{2} (x)) (T_{1}^{2} (x) - T_{1} (x) T_{2} (x) + T_{2}^{2} (x)) = T_{1}^{3} (x) - T_{2}^{3} (x) . \end{matrix}

Nem nehéz meggondolni, hogy

T_{1}^{3} (x)

és

T_{2}^{3} (x)

minden tagjának kitevője osztható 3-mal.
Tehát

\begin{matrix} Q (x) = (S_{1} (x) - S_{2} (x)) (T_{1}^{2} (x) - T_{1} (x) T_{2} (x) + T_{2}^{2} (x)) \end{matrix}

egy megfelelő, nemnulla polinom. (Ha

P (x)

minden tagjának kitevője osztható 3-mal, nem kell szoroznunk semmivel.)

II. megoldás. Azt állítjuk, hogy az adott

n

-edfokú

a_{n} x^{n} + ... + a_{1} x + a_{0}

polinomot meg tudjuk szorozni egy legfeljebb

2 n

-edfokú

b_{2 n} x^{2 n} + ... + b_{1} x + b_{0}

polinommal úgy, hogy a legfeljebb

3 n

-edfokú szorzat polinom megfelelő legyen.

n > 0

-ra bizonyítunk,

n = 0

-ra

b_{0} = 1

triviális megoldás. A cél elérésének szükséges és elégséges feltétele az, hogy a 3-mal nem osztható kitevőjű tagok együtthatója 0 legyen.
Ha

0 \leq k \leq 3 n

, és

k

nem osztható 3-mal, akkor:

\begin{matrix} \sum_{0 \leq i \leq n, 0 \leq k - i \leq 2 n}^{} a_{i} b_{k - i} = 0. \end{matrix}

Ez összesen

2 n

különböző kitevőt jelent, amely ugyanannyi egyenletet ad. Tehát egy, a

b_{0}, b_{1}, ..., b_{2 n}

változókra vonatkozó,

2 n + 1

ismeretlenes,

2 n

egyenletből álló lineáris egyenletrendszert kapunk. Mivel az egyenletek száma kevesebb, mint az ismeretlenek száma, ezért az egyenletrendszernek vagy nincs megoldása, vagy végtelen sok megoldása van. Az utóbbi fog teljesülni, hiszen

b_{i} = 0

triviális megoldása az egyenletrendszernek, csak éppen ezt az egy polinomot tiltja a feladat kikötése. De akkor van (végtelen sok) más olyan megoldás is, amiben van nemnulla együttható, így megfelelő polinomot eredményez.

Megjegyzés. A második megoldásból kiderül, hogy a 3-mal való oszthatóságnak a feladat állításának teljesülésében csupán annyi a szerepe, hogy végtelen sok 3-mal osztható természetes szám van. Igaz tehát a következő: ha

s

természetes számoknak tetszőleges végtelen sorozata, akkor minden nemnulla polinomnak van olyan nemnulla polinomszorosa, amelyben minden tag kitevője

s

-hez tartozik.