|
Feladat: |
B.4180 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ágoston Tamás , Blázsik Zoltán , Bodor Bertalan , Cséke Balázs , Dudás Zsolt , Fonyó Dávid , Frankl Nóra , Huszár Kristóf , Keresztfalvi Tibor , Lovas Lia Izabella , Márkus Bence , Mester Márton , Nagy Donát , Réti Dávid , Somogyi Ákos , Varga László , Weisz Ágoston , Zsakó András |
Füzet: |
2010/április,
216 - 217. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Számsorozatok, Indirekt bizonyítási mód |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2009/április: B.4180 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. pontosan akkor teljesül valamilyen egész -ra, ha , vagyis . (Nyilván nem lehet egyenlő sem -gyel, sem -vel, hiszen mindkettő irracionális szám.) Jelöljük -val tört részét, vagyis . Láttuk, hogy pontosan akkor teljesül, ha . Ekkor Ha pedig , akkor létezik olyan , amelyre . Azt, hogy az sorozat 3-nak végtelen sok egész kitevős hatványát tartalmazza, a következőképpen látjuk be: Bebizonyítjuk, hogy ha van egy olyan , amelyre nem szerepel az sorozatban, akkor létezik olyan természetes szám, amelyre szerepel a sorozatban. Először azt látjuk be, hogy esetén van egy olyan , amelyre . Ha , de , akkor . Az nyilván nem lehet egyetlen egész esetén sem. Ebből, és a fentiekből következik, hogy amennyiben , vagyis nem szerepel az sorozatban, akkor van egy természetes szám, amelyre Ez pedig pontosan azt jelenti, hogy szerepel az sorozatban, tehát megfelelő. Ezzel bebizonyítottuk, hogy 3-nak végtelen sok egész kitevős hatványát tartalmazza az sorozat. |
|