Megoldás. Tekintsük a természetes számok $k$ szerinti maradékosztályait. (Egy $x$ szám az $i$-edik ($0\le i\le k-1$) maradékosztályban van, ha $k$-val osztva $i$ maradékot ad.) Mivel $S$-et a természetes számok halmazából véges sok elem elhagyásával kaptuk, az egyes maradékosztályokból is csak véges sok elemet hagytunk el. Tehát $S$ a $k$ szerinti maradékosztályok mindegyikéből tartalmaz elemet.
Válasszuk ki minden maradékosztályból a legkisebb elemet, melyet az $i$-edik maradékosztály esetén jelöljön $x_i$. Mivel $S$ zárt az összeadásra, azért $S$-nek eleme $x_i+k$, $x_i+2k$ stb. Az így kapott elemek bármelyikéből $k$-t kivonva tehát az $i$-edik maradékosztály és így $S$ egy eleméhez jutunk. Egyedül $x_i-k\notin S$.
Mivel $S$-et $k$ darab maradékosztályra osztottuk, így $k$ darab olyan eleme van, amiből $k$-t kivonva $S$-hez nem tartozó számot kapunk.