Kezdőlap


Feladat:	C.995	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Szécsényi Andrea
Füzet:	2010/április, 213 - 214. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Paraméteres egyenletrendszerek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Esetvizsgálat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/szeptember: C.995

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az első egyenletből fejezzük ki az $x$ -et, és helyettesítsük be a második egyenletbe:

\begin{matrix} - 2 (y - 2 z) + y - 2 z & = - 2, \\ - (y - 2 z) & = - 2, \\ y & = 2 z + 2. \end{matrix}

x = y - 2 z

és

y = 2 z + 2

helyettesítéseket végezzük el a harmadik egyenletben:

\begin{matrix} 2 (y - 2 z) + c (2 z + 2) + 3 z & = 1, \\ 2 y - 4 z + 2 c z + 2 c + 3 z & = 1, \\ 2 (2 z + 2) - 4 z + 2 c z + 2 c + 3 z & = 1, \\ 3 + 2 c z + 2 c + 3 z & = 0, \\ (z + 1) (2 c + 3) & = 0. \end{matrix}

Egy szorzat akkor nulla, ha legalább az egyik tényezője nulla. Ha

z = - 1

, akkor

c

tetszőleges. Ekkor

y = 0

x = 2

.
Vagyis az egyenletrendszernek valóban van olyan megoldása, amely nem függ a

c

paraméter értékétől.

II. megoldás. Meg kell mutatnunk, hogy az egyenletrendszernek van olyan megoldása, amely nem függ a

c

paraméter értékétől. Keressünk ilyet! A

c

paraméter csak a harmadik egyenletben szerepel az

y

együtthatójaként, ezért nézzük az

y = 0

értéket. Ekkor az egyenletrendszer:

\begin{matrix} {\begin{matrix} x + 2 z & = 0, \\ - 2 x - 2 z & = - 2, \\ 2 x + 3 z & = 1. \end{matrix} \end{matrix}

Az első két egyenletből álló egyenletrendszer megoldása:

x = 2

z = - 1

, ami igazzá teszi a harmadik egyenletet is.
Vagyis az

x = 2

y = 0

z = - 1

olyan megoldása az egyenletrendszernek, amely nem függ a

c

paraméter értékétől.