Kezdőlap


Feladat:	2009. évi Eötvös fizikaverseny 3. feladata	Korcsoport: -	Nehézségi fok: -
Füzet:	2010/március, 171 - 172. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Eötvös Loránd (korábban Károly Irén), Nyugalmi indukció, Egyéb változó áram, Becslési feladatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/március: 2009. évi Eötvös fizikaverseny 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az első kérdésre viszonylag könnyen válaszolhatunk, ha felismerjük, hogy amikor állandó erősségű áram folyik a szolenoidban, akkor a tekercs szájánál fele akkora mágneses fluxus alakul ki, mint a tekercs közepe táján. (Ennek legegyszerűbb igazolásához úgy juthatunk, hogy gondolatban hozzáillesztünk a szolenoidhoz egy ugyanolyan másikat. Azon a helyen, ahol a két tekercs találkozik, mindkét tekercsnek a szimmetriatengely irányában $B / 2$ nagyságú mágneses indukcióvektor-komponest kell létrehoznia ahhoz, hogy kialakuljon a tekercs belsejére jellemző, $B$ nagyságú indukcióvektor.)
A fele nagyságú mágneses fluxust két menettel kell létrehozni a tekercs végén, vagyis egy menetben itt negyedakkora áram is elég, mint amire a tekercs közepe táján lévő egyetlen menetben van szükség.
A feladat második kérdése az $A$ hurokban folyó $I_{A}$ áram nagyságára vonatkozik. Egy körvezetőben folyó $I$ áram a körvezető középpontjában

\begin{matrix} B = μ_{0} \frac{I}{2 r} \end{matrix}

nagyságú mágneses teret hoz létre. Első közelítésben tegyük fel, hogy ez éppen akkora, mint amekkorát a szolenoidban folyó

I_{0}

áram hozott létre:

\begin{matrix} B = μ_{0} \frac{I_{0} N}{ℓ} . \end{matrix}

Ebben a közelítésben tehát

\begin{matrix} I = 2 r \frac{I_{0} N}{ℓ} . \end{matrix}

Behelyettesítve a megadott értékeket, a tekercs közepe táján levő hurokban indukálódó áramra

I = I_{A} = 40

mA adódik. Figyelembe véve azonban azt, hogy a körvezető közepén a legkisebb a mágneses indukció értéke, vagyis a körlap pontjaira vonatkozó ,,átlagos'' indukció ennél biztosan nagyobb, a 40 mA-nél biztosan kisebb áram indukálódik a szupravezető hurokban.
Felhasználva például a körvezető induktivitására a szakirodalomban található

\begin{matrix} L = μ_{0} r ln \frac{r}{r_{drót}} \end{matrix}

közelítő képletet (és feltételezve, hogy mondjuk

r_{drót} = r / 50

), a körvezetőben indukálódó áramra a fluxus változatlanságát kifejező

\begin{matrix} μ_{0} \frac{I_{0} N}{ℓ} \cdot (r^{2} π) = L I_{A} \end{matrix}

összefüggésből

I_{A} = 16

mA adódik.

Megjegyzések: 1. A drót vastagságára vonatkozó adat nem szerepelt a feladat szövegében, de az eredmény ‐ ésszerű határok között ‐ nem is függ lényegesen ettől az adattól. Ha például a drót sugara

r / 10

vagy

r / 100

, az indukálódó áramerősségre 27 mA, illetve 13 mA értékeket kapunk.
2.

I_{A}

-ra a következő egyszerű megfontolással is adhatunk nagyságrendi becslést. A szolenoid közepe táján az átmenő fluxust nagyon sok menetben folyó áram együttes hatása hozza létre. A vizsgált helyen levő egyetlen menet (mint körvezető) fluxusa annyiszor kisebb az egymenetes szupravezető fluxusánál, ahányszor kisebb az

I

áram

I_{A}

-nál. Gyakorlatilag ugyanekkora fluxust hoz létre a szolenoid kiszemelt menete melletti egy-egy ,,körvezető'' menet is. A távolabbi (néhány

r

-nyi távolságnál jóval messzebb levő) menetek azonban már egyre kevésbé járulnak hozzá a középső rész fluxusához, hiszen a mágneses terük ,,szétszóródik'', erővonalaiknak csak kis része halad át a kiszemelt körlapon. A szolenoid néhányszor (mondjuk 1 vagy 2-szer)

r

hosszúságú szakaszán kb. 20-40 menet található. Ezek mágneses fluxusa akkor lesz ugyanakkora, mint az egyetlen szupravezető köráram fluxusa, ha

I_{A}

20-40-szer erősebb, mint a szolenoid 1 mA-es árama.