Kezdőlap


Feladat:	2009. évi Eötvös fizikaverseny 2. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2010/március, 169 - 171. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Eötvös Loránd (korábban Károly Irén), Egyéb tükrök
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/március: 2009. évi Eötvös fizikaverseny 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A feladatot abban a középiskolai közelítésben oldjuk meg, amire a befejező mondat hatalmaz fel bennünket: alkalmazhatjuk a gömbtükörre érvényes leképezési törvényt. Tudjuk, hogy ez szigorúan véve csak az optikai tengellyel közel párhuzamos, ún. ,,paraxiális'' sugarakkal történő leképezésre igaz, de a középiskolában ‐ és a mindennapi gyakorlatban ‐ számos esetben alkalmazzuk olyankor is, amikor a leképező sugarak akár $20^{\circ}$ -os szögben hajlanak az optikai tengelyhez. A leképezési törvénynek erre az esetre módosított, de a középiskolában nem tanított alakját megtalálhatja az érdeklődő Olvasó lapunk 174. oldalán a ,,Lehet egy közelítéssel kevesebb?'' című cikkben.
Mindenekelőtt azt kell észrevennünk, hogy a láng képe a leírt kísérletben mindig valódi kép lesz, ami valahol a tükröző felület előtt, nem pedig mögötte keletkezik. (Most ugyanis a tárgytávolság legalább 4 cm, míg a fókusztávolság ‐ a sugár fele ‐ 3 cm.) E valódi kép helye azonban attól függ, honnan nézünk rá a vázára. A láng képe mindig ugyanolyan magas, mint maga a láng, mert függőlegesen a hengertükör se nem nagyít, se nem kicsinyít.
A láng képének szélessége persze nagyobb és kisebb is lehet, mint maga a láng. Egyenlő vele csak akkor, amikor a láng éppen a kétszeres fókusztávolságban helyezkedik el, ekkor a nagyítás egységnyi. A kép fordított állású, a váza tengelyétől tehát ugyanúgy 2 cm-re keletkezik, mint ahol a láng van, éppen csak a másik oldalon.
Máris válaszolhatunk az $a)$ kérdésre: olyan irányból kell nézni a vázára, hogy az egységnyi nagyítású, valódi képet létrehozó sugarak jussanak a megfigyelő szemébe. Feltételezve, hogy a hengertükör viszonylag nagy nyílásszögben is tökéletes leképezést valósít meg ‐ ahogy ezt a gömbtükröknél a középiskolában feltételezzük ‐, a képet és a tárgyat összekötő egyenesre (függőleges síkra) merőleges irányból is nézhetjük a jelenséget (2. ábra). Innen nézve, éppen egymás mellett látjuk a lángot ( $L$ ) és annak (vízszintes irányban fordított, függőleges irányban egyenes állású) valódi képét ( $L'$ ).

2. ábra

b)

kérdés megválaszolásához elég arra gondolnunk, hogy a gömbtükör esetén minden olyan fénysugár, amely a gömb középpontján halad át, önmagába verődik vissza. Akárhol is van a tárgypont, a belőle kiinduló olyan fénysugár, amelyik (vagy amelyiknek a meghosszabbítása) áthalad a gömb középpontján, önmagába verődik vissza, majd áthalad a valódi képponton. Tehát a tárgypontnak, a gömb középpontjának és a képpontnak egy egyenesbe kell esnie!
Hengertükörre alkalmazva ezt a gondolatmenetet, azt mondhatjuk, hogy az

L

tárgy

L'

képének mindig rajta kell lennie az

L

tárgypontot és az itteni

O

pontot összekötő egyenesen. Ez az

O

pont a henger tengelyének az a pontja, amelyik benne van a tárgyponton átmenő vízszintes síkban. Minthogy

O

és

L

pontok a feladatban rögzítettek, ezért

L'

-nek végig ugyanazon az egyenes szakaszon kell mozognia. A szakasz két végpontját az a két tárgyhelyzet határozza meg, amikor a láng a legközelebb, illetve legtávolabb van a tükörtől. Esetünkben

\begin{matrix} r = 6 cm & \Rightarrow f = 3 cm; \\ t_{{min}_{}^{}} = 4 cm & \Rightarrow k_{{max}_{}^{}} = 12 cm; \\ t_{{max}_{}^{}} = 8 cm & \Rightarrow k_{{min}_{}^{}} = 4, 8 cm . \end{matrix}

L'

képnek a 3. ábrán látható

L'_{1} L'_{2}

szakaszon kell lennie.

3. ábra

Érdemes megjegyezni, hogy a homorú gömbtükörnek a középiskolában tárgyalt lineáris leképezése esetén a tárgy- és képpontot összekötő egyenes szükségképpen átmegy az optikai tengelynek azon pontján, ami a tükörtől kétszeres fókusztávolságra van. Ez például a 4. ábrán látható hasonló háromszögek segítségével látható be:

\begin{matrix} \frac{x}{t} = \frac{K}{T + K} = \frac{k}{t + k}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} x = \frac{t k}{t + k} = \frac{1}{\frac{1}{t} + \frac{1}{k}} = f . \end{matrix}

4. ábra

Ha az

\frac{1}{t} + \frac{1}{k} = \frac{1}{f}

összefüggés helyett egy pontosabb közelítést alkalmazunk, amely már nemcsak a paraxiális sugarak ‐ lineáris ‐ képalkotását veszi figyelembe, akkor lehetővé válik a gömbi leképezés hibájának, az ún. szférikus aberrációnak a kvantitatív tárgyalása is.