Kezdőlap


Feladat:	B.4205	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Árvay Balázs
Füzet:	2010/március, 155 - 156. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Húrnégyszögek, Trapézok, Középponti és kerületi szögek, Koszinusztétel alkalmazása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/október: B.4205

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az $A B C$ és $A B D$ háromszögek egybevágóak, mert $A B$ oldaluk közös, másik két-két oldaluk pedig egyenlő. Ezért $A C B ∢ = A D B ∢ = α$ . Mivel $A C$ és $B D$ metszik egymást, $C$ és $D$ az $A B$ egyenesnek ugyanazon az oldalán helyezkedik el. A szögek egyenlősége miatt ezért $C$ és $D$ az $A B$ szakasz $α$ szöghöz tartozó két látóköríve közül ugyanazon van rajta, tehát $A B C D$ húrnégyszög.

Ptolemaiosz tétele (lásd pl. Geometriai feladatok gyűjteménye I., 1259. feladat) szerint bármely húrnégyszög két-két szemközti oldala szorzatának összege megegyezik az átlók szorzatával. Esetünkben tehát

\begin{matrix} A B \cdot C D + A D \cdot B C = A C \cdot B D, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} C D = \frac{A C \cdot B D - A D \cdot B C}{A B} = \frac{4 \cdot 4 - 2 \cdot 2}{A B} = \frac{12}{A B} . \end{matrix}

A háromszög-egyenlőtlenség miatt

A B > A C - B C = 4 - 2 = 2

és

A B < A C + B C = 4 + 2 = 6

. Ezen feltételek teljesülése esetén

2 < C D < 6

is fennáll, s ilyenkor létezik az

A B C D

négyszög.

II. megoldás. Az

A B C D

húrnégyszög szimmetrikus trapéz, mert két szemközti oldala,

A D

és

B C

egyenlő. Ezért

B A D ∢ + C D A ∢ = 180^{\circ}

, vagyis

cos B A D ∢ + cos C D A ∢ = 0

. A koszinusztételt az

A B D

, illetve az

A C D

háromszögekre felírva

\begin{matrix} cos B A D ∢ = \frac{A B^{2} + A D^{2} - B D^{2}}{2 \cdot A B \cdot A D} és cos C D A ∢ = \frac{A D^{2} + C D^{2} - A C^{2}}{2 \cdot A D \cdot C D}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \frac{A B^{2} + 2^{2} - 4^{2}}{4 \cdot A B} + \frac{2^{2} + C D^{2} - 4^{2}}{4 \cdot C D} = 0. \end{matrix}

Ebből átszorzás és rendezés után az

\begin{matrix} (A B + C D) (A B \cdot C D - 12) = 0 \end{matrix}

egyenlőséget kapjuk. Mivel

A B + C D \neq 0

, azért

(A B \cdot C D - 12) = 0

, vagyis

C D = 12 / A B