Kezdőlap


Feladat:	B.4203	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csizmadia Luca
Füzet:	2010/március, 154 - 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Thalesz tétel és megfordítása, Húrnégyszögek, Egyenlő szárú háromszögek geometriája
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/október: B.4203

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A körök középpontjait jelölje $M$ , illetve $N$ , az $M N$ egyenes és a körök $C$ -től és $D$ -től különböző metszéspontjait pedig az ábrán látható módon $K$ és $L$ . Legyen $A M D ∢ = 2 α$ . Az $A M$ és $B N$ szakaszok merőlegesek a közös érintőre, ezért párhuzamosak egymással, tehát $B N L ∢ = A M D ∢ = 2 α$ .

M

középpontú körben a kisebbik

A C

ívhez tartozó középponti szög

2 α

, ezért az ugyanehhez az ívhez tartozó érintőszárú kerületi szög ennek a fele, vagyis

C A B ∢ = α

. Az

N

középpontú körben a kisebbik

B L

ívhez tartozó középponti szög

2 α

, ezért az ugyanehhez az ívhez tartozó kerületi szög ennek a fele, vagyis

L D B ∢ = C D B ∢ = α

.
Tehát a

B C

szakasz

A

-ból és

D

-ből ugyanakkora szög alatt látszik. Mivel

A

és

D

B C

egyenesnek ugyanazon az oldalán helyezkednek el, azért a

B C

szakasz

α

szöghöz tartozó két látóköríve közül ugyanazon vannak rajta, tehát

A B C D

húrnégyszög.

Megjegyzés. Az

A B L K

négyszög is húrnégyszög. Ugyanis

L K A ∢ = α

(mert a kisebbik

A C

ívhez tartozó kerületi szög), valamint

\begin{matrix} L B A ∢ = L B D ∢ + D B A ∢ = 90^{\circ} + (180^{\circ} - 2 α) / 2 \end{matrix}

(mert a kisebbik

B D

ívhez tartozó középponti szög

180^{\circ} - 2 α

és

D B A ∢

ehhez az ívhez tartozó érintőszárú kerületi szög). Tehát a négyszög két szemközti szögének összege

180^{\circ}