Kezdőlap


Feladat:	B.4197	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szakács Enikő , Tóth Barnabás
Füzet:	2010/március, 151 - 152. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Trigonometriai azonosságok, Szinusztétel alkalmazása, Koszinusztétel alkalmazása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/szeptember: B.4197

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a háromszög területe $T$ . Ekkor tudjuk, hogy $2 T = a b sin γ = b c sin α = c a sin β$ . A koszinusztétel szerint $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β$ , amit átrendezve és a feltételt felhasználva a feltételt kapjuk, hogy

\begin{matrix} 2 b^{2} = a^{2} + c^{2} = b^{2} + 2 a c cos β, azaz cos β = \frac{b^{2}}{2 a c} . \end{matrix}

Mivel

ctg β = \frac{cos β}{sin β}

, a területképletet is használva

\begin{matrix} ctg β = \frac{b^{2}}{2 a c sin β} = \frac{b^{2}}{4 T} \end{matrix}

adódik.
Ugyanígy kapjuk az

a

, illetve

c

oldalra felírt koszinusztételek átrendezéséből és a megfelelő területképletekből, hogy

\begin{matrix} ctg α = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c sin α} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4 T} és ctg γ = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b sin γ} = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4 T} . \end{matrix}

A bizonyítandó állítás tehát

\begin{matrix} 2 \cdot \frac{b^{2}}{4 T} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4 T} + \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4 T} . \end{matrix}

Ez pedig nyilván igaz.

II. megoldás. Írjuk fel a koszinusztételt a háromszög mindhárom oldalára, s a kapott kifejezéseket helyettesítsük be a feladat feltételéül adott egyenlőségbe. Ezek szerint

\begin{matrix} 2 (a^{2} + c^{2}) = 2 (b^{2} + 2 a c cos β) = (b^{2} + c^{2} - a^{2} + 2 b c cos α) + (a^{2} + b^{2} - c^{2} + 2 a b cos γ) . \end{matrix}

Ezt átrendezve, majd

a b c

-vel osztva kapjuk, hogy

\begin{matrix} 2 a c cos β & = b c cos α + a b cos γ, \\ \frac{2 cos β}{b} & = \frac{cos α}{a} + \frac{cos γ}{c} . \end{matrix}

Az oldalak helyére az általánosított szinusztétel szerinti

a = 2 R sin α

b = 2 R sin β

és

c = 2 R sin γ

kifejezéseket beírva (ahol

R

a háromszög köré írható kör sugara)

\begin{matrix} \frac{2 cos β}{2 R sin β} = \frac{cos α}{2 R sin α} + \frac{cos γ}{2 R sin γ}, \end{matrix}

amit

2 R

-rel megszorozva és felhasználva, hogy

ctg x = \frac{sin x}{cos x}

éppen a bizonyítandó

\begin{matrix} 2 ctg β = ctg α + ctg γ \end{matrix}

egyenlőséget kapjuk.