Kezdőlap


Feladat:	B.4195	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Cséke Balázs
Füzet:	2010/március, 150 - 151. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Heron-képlet, Magasságvonal, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/szeptember: B.4195

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyenek a háromszög oldalai $a$ , $b$ és $c$ . Feltehetjük, hogy $a > b > c$ . Mivel a háromszög oldalai úgy aránylanak egymáshoz, mint a megfelelő magasságok reciprokai, az oldalak aránya $a : b : c = 1 / 10 : 1 / 12 : 1 / 15 = 6 : 5 : 4$ . Tehát a keresett háromszöghöz hasonló az a $H$ háromszög, melynek oldalainak hossza 6, 5 és 4.
Héron képlete alapján ha $H$ területét $T$ jelöli, akkor

\begin{matrix} T = \sqrt[]{\frac{(6 + 5 + 4)}{2} \cdot \frac{(6 + 5 - 4)}{2} \cdot \frac{(6 + 4 - 5)}{2} \cdot \frac{(5 + 4 - 6)}{2}} = \frac{15 \sqrt[]{7}}{4} . \end{matrix}

Ezért

H

legnagyobb oldalához tartozó magassága

\begin{matrix} m = \frac{2 T}{6} = \frac{30 \sqrt[]{7}}{24} = \frac{5 \sqrt[]{7}}{4} . \end{matrix}

Vagyis a két hasonló háromszögben a megfelelő szakaszok aránya

a : 6 = b : 5 = c : 4 = 10 : (5 \sqrt[]{7} / 4) = 8 / \sqrt[]{7}

.
Tehát a keresett oldalak

\begin{matrix} a = \frac{48}{\sqrt[]{7}} = \frac{48 \sqrt[]{7}}{7}, b = \frac{40}{\sqrt[]{7}} = \frac{40 \sqrt[]{7}}{7}, c = \frac{32}{\sqrt[]{7}} = \frac{32 \sqrt[]{7}}{7} . \end{matrix}

Ilyen háromszög létezik, mert az oldalakra teljesül a háromszög-egyenlőtlenség.