Kezdőlap


Feladat:	4167. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szegedi Domonkos
Füzet:	2010/február, 114 - 115. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Feladat, Görbevonalú mozgás lejtőn
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/május: 4167. fizika feladat

Állítható hajlásszögű lejtőn

α = 20^{\circ}

esetén csúszik meg a ráhelyezett, 1 kg tömegű test. Ha a lejtőt

α = 10^{\circ}

-ra állítjuk be, akkor mekkora az a lejtő síkjába eső, a lejtés irányára merőleges

F

erő, amelynek hatására megcsúszik a test? Milyen a csúszás iránya?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $α$ hajlásszögű lejtőre helyezett $m$ tömegű testre ható $m g$ nagyságú gravitációs erőt felbonthatjuk

\begin{matrix} F_{1} = m g sin α \end{matrix}

(1)

nagyságú (lejtő irányú) ,,húzóerőre'' és

\begin{matrix} F_{2} = m g cos α \end{matrix}

(2)

nagyságú (a lejtőre merőleges) nyomóerőre (1. ábra).

1. ábra

A (tapadási) súrlódási erő legnagyobb értéke

\begin{matrix} S_{{max}_{}^{}} = μ F_{2} \end{matrix}

(3)

lehet, és ez az erő

α = 20^{\circ}

-nál (a megcsúszás pillanatában) éppen

F_{1}

-gyel egyenlő:

\begin{matrix} m g sin 20^{\circ} = μ \cdot m g cos 20^{\circ}, \end{matrix}

ahonnan a súrlódási együttható kiszámítható:

\begin{matrix} μ = tg 20^{\circ} = 0, 36. \end{matrix}

(4)

A második esetben, amikor

α = 10^{\circ}

, a testre az (1), (2) és (3)-nak megfelelő erőkön kívül hat még a vízszintes irányú,

F

nagyságú külső erő is (2. ábra).

F_{1}

és

F

eredőjének nagysága (a Pitagorasz-tétel szerint)

\sqrt[]{F_{1}^{2} + F^{2}}

, s ez az erő a megcsúszás pillanatában

μ F_{2}

-vel egyenlő. A súrlódási együttható csak a súrlódó testek anyagi minőségétől függ, a lejtő hajlásszögétől nem, nagysága a (4)-nek megfelelő szám. Fennáll tehát:

\begin{matrix} \sqrt[]{(m g sin^{2} 10^{\circ}) + F^{2}} = tg 20^{\circ} \cdot m g cos 10^{\circ}, \end{matrix}

ahonnan a kérdéses erő nagyságára

\begin{matrix} F = m g \sqrt[]{{tg}^{2} 20^{\circ} \cdot cos^{2} 10^{\circ} - sin^{2} 10^{\circ}} = 0, 3 m g \approx 3, 1 N \end{matrix}

adódik.

2. ábra

A 2. ábráról azt is leolvashatjuk, hogy a csúszás irányának (az

F_{1}

és

F

nagyságú erők eredőjének) és a lejtés irányának

γ

szögére teljesül, hogy

\begin{matrix} tg γ = \frac{F}{F_{1}} = \frac{0, 3 m g}{m g sin 10^{\circ}} = 1, 78, azaz γ \approx 61^{\circ} . \end{matrix}