Kezdőlap


Feladat:	C.981	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Boros Ágnes
Füzet:	2010/február, 82 - 83. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Kör geometriája
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/március: C.981

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A feladat szövege alapján készítsünk egy ábrát a földgömbről és a látóhatár értelmezéséről $(r = 6370$ km, $d = p \sqrt[]{h})$ . A látóhatárt a Föld egy pontjába húzott érintőként értelmezhetjük ( $E_{1}$ , $E_{2})$ , ahol a kibocsájtási pont az $M$ megfigyelő pont. Mivel a kör középpontjából húzott szakasz ( $O E_{1}$ , $O E_{2})$ az érintő ponthoz érve a ponthoz tartozó érintőt merőlegesen metszi, derékszögű háromszögeket kapunk: $O M E_{1}$ , $O M E_{2}$ .

A Pitagorasz-tétel segítségével felírható, hogy:

r^{2} + d^{2} = {(r + h)}^{2}

, ahol a

h

-t kilométerben adtuk meg. A

d = p \sqrt[]{h}

kifejezést beírhatjuk a Pitagorasz-tételbe, csak arra kell figyelni, hogy ebben a kifejezésben a

h

-t méterben adtuk meg:

\begin{matrix} r^{2} + p^{2} h = r^{2} + h^{2} + 2 r h, azaz p^{2} h = h^{2} + 2 r h . \end{matrix}

Azért, hogy ne legyen az átváltások miatt eltérés, az egyenlet bal oldalát meg kell szorozni 1000-rel (

1 km = 1000 m

1000 p^{2} h = h^{2} + 2 r h

1000 p^{2} = h + 2 r

. Ebből

\begin{matrix} p = \sqrt[]{\frac{h + 2 r}{1000}} . \end{matrix}

\frac{h}{1000}

elhanyagolható nagyságú (az

r

-hez képest), így

\begin{matrix} p \approx \sqrt[]{\frac{2 \cdot 6370}{1000}} \approx 3, 57. \end{matrix}

A keresett érték: 3,57.