Megoldás. Tekintsük az $\mathrm{1,1}+a\mathrm{,1}+2a\mathrm{,1}+3a\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}$ illetve az $\mathrm{1,1}+b\mathrm{,1}+2b\mathrm{,}1+3b\mathrm{,}\text{...}$ sorozatokat. E két sorozat bármelyikére igaz, hogy két szomszédos elemének különbsége $a$ vagy $b$, ezért semelyik két szomszédos elem sem lehet a $H_1$ és $H_2$ halmazok közül ugyanabban. Más szóval mindkét sorozat felváltva tartalmaz $H_1$ és $H_2$-beli elemeket. Azt kaptuk tehát, hogy az $1+ka$ és az $1+\ell b$ egészek pontosan akkor vannak ugyanabban a halmazban, ha $k$ és $\ell$ paritása megegyezik (hiszen mindkét sorozat első eleme 1).
Legyen $n$, illetve $m$ az $a$, illetve $b$ kanonikus alakjában a $2$ prímtényező kitevője, azaz $a=2^{n}a\text{'}$ és $b=2^{m}b\text{'}$, ahol $a\text{'}$, illetve $b\text{'}$ páratlan számok. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy $n\ge m$ teljesül. Tekintsük az $x:=1+2^{n}a\text{'}b\text{'}$ számot. Mivel $x=1+b\text{'}a$ ugyanabban a halmazban van, mint $x=1+a\text{'}{2}^{n-m}b$, a fenti megfigyelésünkből az adódik, hogy $b\text{'}$ és $a\text{'}{2}^{n-m}$ paritása megegyezik, vagyis $a\text{'}{2}^{n-m}$ páratlan, ami csak úgy lehetséges, ha $n-m=0$, azaz ha $n=m$. Azt kaptuk tehát, hogy ha lehetséges a pozitív egészeket két halmaz uniójára bontani a feladatban leírt módon, akkor $a$ és $b$ kanonikus alakjában a $2$ prímtényező ugyanazon a kitevőn szerepel.
A megoldást annak megmutatásával fejezzük be, hogy ebben az esetben (tehát ha $n=m$) megadható a kívánt felbontás. Legyen ugyanis