Kezdőlap


Feladat:	4177. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kószó Simon , Tene Zsuzsanna
Füzet:	2010/január, 55 - 56. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb merev test síkmozgások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/szeptember: 4177. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A jobb oldali fonál elvágása után a bal oldali fonál valamekkora $F$ erőt fejt ki a rúdra. Ennek és a tömegközéppontban ható $m g$ gravitációs erőnek hatására a rúd tömegközéppontja $a$ gyorsulással kezd mozogni függőlegesen lefelé.

Newton mozgásegyenlete szerint

\begin{matrix} m g - F = m a . \end{matrix}

(1)

Másrészt a rúd

β

szöggyorsulással forogni is kezd, és mivel a rúd bal oldali végpontja nem mozdul el, ezen pont gyorsulása nulla:

\begin{matrix} a - \frac{ℓ}{2} β = 0. \end{matrix}

(2)

Érvényes továbbá a forgómozgás alapegyenlete:

M = Θ \cdot β

, ahol

M = F \cdot \frac{ℓ}{2}

a külső erők eredő forgatónyomatéka a tömegközéppontra vonatkoztatva,

\begin{matrix} Θ = \frac{1}{12} m ℓ^{2} \end{matrix}

pedig a rúd tehetetlensényi nyomatéka ugyancsak a tömegközéppontra vonatkoztatva. A fenti három egyenletből kapjuk, hogy

\begin{matrix} F \cdot \frac{ℓ}{2} = \frac{1}{12} m ℓ^{2} \cdot β, \end{matrix}

vagyis (2) kihasználásával:

\begin{matrix} F = \frac{1}{3} m a . \end{matrix}

(3)

Innen (1)-et is figyelembe véve a fonalat feszítő erőre

\begin{matrix} F = \frac{1}{4} m g = 1, 2 N, \end{matrix}

a tömegközéppont gyorsulására

\begin{matrix} a = \frac{3}{4} g \approx 7, 5 \frac{m}{s^{2}}, \end{matrix}

A

pont gyorsulására pedig

\begin{matrix} a_{A} = ℓ β = \frac{3}{2} g \approx 15 \frac{m}{s^{2}} \end{matrix}

adódik. (Érdekes, hogy a rúd szabad vége a szabadesés gyorsulásánál nagyobb gyorsulással indul el lefelé.)

II. megoldás. Az I. megoldás jelöléseit használva felírhatjuk a tömegközéppontra vonatkozó (1) mozgásegyenletet, a haladó és a forgómozgás közötti (2) kényszerfeltételt, valamint a forgómozgás alapegyenletét a rúd bal oldali

B

végpontjára:

\begin{matrix} m g \cdot \frac{ℓ}{2} = \frac{1}{3} m ℓ^{2} \cdot β . \end{matrix}

(4)

A fenti egyenlet felírásánál kihasználtuk, hogy a rúd tehetetlenségi nyomatéka a végpontjára vonatkoztatva (Steiner tétele szerint)

\begin{matrix} Θ_{B} = \frac{1}{12} m ℓ^{2} + m {(\frac{ℓ}{2})}^{2} = \frac{1}{3} m ℓ^{2}, \end{matrix}

továbbá azt a tényt, hogy egy merev test szögelfordulása (és ezzel együtt a szögsebessége és szoggyorsulása is) független attól, hogy a test melyik pontjához viszonyítjuk ezeket a mennyiségeket.
Az (4) egyenletből közvetlenül adódik, hogy

\begin{matrix} ℓ β = \frac{3}{2} g, \end{matrix}

ez éppen az

A

pont gyorsulása, továbbá (1) és (2) felhasználásával a fonalat feszítő erő:

F = \frac{1}{4} m g

Megjegyzés. Megpróbálhatjuk a forgómozgás egyenletét a rúd egy tetszőleges pontjára felírni, és ennek, valamint a tömegközéppont mozgásegyenletének segítségével oldani meg a feladatot. Azt tapasztaljuk, hogy a megoldás két kivételes esettől eltekintve általában hibás lesz! Csak akkor kapunk helyes eredményt, ha az I. megoldásban szereplő tömegközéppontot, vagy a II. megoldásban szereplő rúdvégpontot választjuk a forgómozgás leírásában viszonyítási pontnak.
Általánosan vizsgálva a kérdést belátható, hogy a tömegközéppontra vonatkoztatott forgási egyenlet mindig helyes eredményre vezet, attól eltérő

P

pontra vonatkoztatott egyenlet azonban csak akkor helyes, ha a

P

pont pillanatnyi gyorsulásvektora a tömegközéppont irányába mutat (vagy nullvektor). Ilyen esetben ugyanis a

P

ponthoz rögzített gyorsuló koordináta-rendszerből szemlélve a mozgást a tehetetlenségi erőknek nincs tömegközéppontra vonatkoztatott forgatónyomatéka, tehát a forgómozgás leírásánál a tehetetlenségi erők figyelmen kívül hagyhatók.
Elterjedt hibás nézet, hogy a forgómozgás egyenletét a tömegközéppont mellett a nulla sebességgel rendelkező pillanatnyi forgási középpontra (ún. momentán centrumra) is felírhatjuk. Ez azonban ‐ jóllehet bizonyos speciális esetekben, pl. a jelen feladatban is helyes eredményre vezet ‐ általában nem igaz. A pillanatnyi forgástengely helye különböző inerciarendszerekben ülő megfigyelők számára máshol van, tehát nem rendelkezik olyan objektív fizikai jelentéssel, mint a mindenki számára ugyanakkorának mutatkozó gyorsulásvektor.