Kezdőlap


Feladat:	4169. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Batki Bálint , Krämer Zsolt
Füzet:	2010/január, 52 - 53. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Gömbhullám intenzitáscsökkenése
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/május: 4169. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Egy pontszerű fényforrás által létrehozott megvilágítás erőssége (vagyis az egységnyi idő alatt az energiaáramlásra merőlegesen felvett egységnyi felületre jutó fényenergia)

\begin{matrix} E = \frac{I}{d^{2}} cos α, \end{matrix}

ahol

d

a fényforrás és a megvilágított felületdarabka távolsága,

α

a felületre merőleges egyenes és a fény terjedési iránya közötti szög,

I

pedig a fényforrás fényerőssége.

Az asztal szélének megvilágítása az ábra alapján

\begin{matrix} E = \frac{I}{d^{2}} \cdot \frac{h}{d} = \frac{I h}{{(r^{2} + h^{2})}^{3 / 2}} . \end{matrix}

Látható, hogy adott fényforrás, tehát adott

I

esetén a megvilágítás erőssége akkor a legnagyobb, amikor az

\begin{matrix} f (h) = \frac{h}{{(r^{2} + h^{2})}^{3 / 2}} \end{matrix}

függvény értéke maximális.
Deriváljuk az

f (h)

függvényt

h

szerint!

\begin{matrix} f' (h) = \frac{{(r^{2} + h^{2})}^{3 / 2} - h \cdot \frac{3}{2} \sqrt[]{r^{2} + h^{2}} \cdot 2 h}{{(r^{2} + h^{2})}^{3}} . \end{matrix}

A függvény maximális értékénél a derivált nulla:

\begin{matrix} f' (h) = {(r^{2} + h^{2})}^{- 3 / 2} - 3 h^{2} {(r^{2} + h^{2})}^{- 5 / 2} = 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} (r^{2} + h^{2}) - 3 h^{2} = 0, vagyis \frac{r}{h} = \sqrt[]{2} . \end{matrix}

Tehát az asztal széle akkor részesül a legnagyobb megvilágításban, amikor a fényforrást az asztallap középpontja fölött

\begin{matrix} h = \frac{r}{\sqrt[]{2}} \end{matrix}

magasságban helyezzük el.

II. megoldás. Vizsgáljuk az asztal szélének megvilágítottságát az I. megoldás ábráján látható

α

szög függvényében! Mivel

\begin{matrix} d = \frac{r}{sin α}, \end{matrix}

a megvilágítás:

\begin{matrix} E = \frac{I}{d^{2}} cos α = \frac{I}{r^{2}} \cdot sin^{2} α \cdot cos α . \end{matrix}

Ennek a függvénynek ott lesz maximuma, ahol

sin^{2} α \cdot cos α

a legnagyobb értéket veszi fel. Számítógéppel kiszámolva és ábrázolva ezt a függvényt a számított mennyiségek táblázatából vagy a grafikonról leolvashatjuk, hogy a keresett maximum

α \approx 54, 7^{\circ}

-nál van. A fényforrás magassága ebben az esetben

\begin{matrix} h = \frac{r}{tg α} \approx 0, 71 r . \end{matrix}