Kezdőlap


Feladat:	4150. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Najbauer Eszter Éva
Füzet:	2010/január, 49 - 50. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Sikkondenzátor
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/március: 4150. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha a síkkondenzátor lemezei között vákuum van, a kapacitása

\begin{matrix} C_{0} = ε_{0} \frac{A}{d}, \end{matrix}

ahol

A

a síklapok területe,

d

pedig a távolságuk.
Az

a)

eset olyan, mintha két (

A / 2

lemezterületű,

d

lemeztávolságú) síkkondenzátort kapcsoltunk volna párhuzamosan. Az egyik kondenzátor kapacitása

\begin{matrix} C_{1} = ε_{1} \frac{A}{2 d} = ε_{1} \frac{C_{0}}{2 ε_{0}}, \end{matrix}

a másiké

\begin{matrix} C_{2} = ε_{2} \frac{A}{2 d} = ε_{2} \frac{C_{0}}{2 ε_{0}}, \end{matrix}

az eredő kapacitás pedig

\begin{matrix} C_{a} = C_{1} + C_{2} = \frac{C_{0}}{ε_{0}} \cdot \frac{ε_{1} + ε_{2}}{2} . \end{matrix}

b)

eset felfogható két (

A

lemezterületű, de csak

d / 2

lemeztávolságú) síkkondenzátor soros kapcsolásának. Az egyik kondenzátor kapacitása ebben az esetben

\begin{matrix} C_{1}' = ε_{1} \frac{2 A}{d} = 2 ε_{1} \frac{C_{0}}{ε_{0}}, \end{matrix}

a másiké

\begin{matrix} C_{2}' = ε_{2} \frac{2 A}{d} = 2 ε_{2} \frac{C_{0}}{ε_{0}}, \end{matrix}

az eredő kapacitás pedig

\begin{matrix} C_{b} = {(\frac{1}{C_{1}'} + \frac{1}{C_{1}'})}^{- 1} = \frac{C_{1}' C_{2}'}{C_{1}' + C_{2}'} = \frac{C_{0}}{ε_{0}} \cdot \frac{2 ε_{1} ε_{2}}{ε_{1} + ε_{2}} . \end{matrix}

a)

esetben a kapacitás a kétféle permittivitás számtani közepével, a

b)

esetben pedig a harmonikus közepükkel arányos. A kétféle középértékre vonatkozó egyenlőtlenség szerint az

a)

esethez tartozó kapacitás nem lehet kisebb, mint a

b)

esetnek megfelelő kapacitás (és az egyenlőség csak

ε_{1} = ε_{2}

mellett teljesülhet).

Megjegyzés: Ezt a kétféle kapacitás hányadosának alábbi alakjából is leolvashatjuk:

\begin{matrix} \frac{C_{a}}{C_{b}} = \frac{{(ε_{1} + ε_{2})}^{2}}{4 ε_{1} ε_{2}} = \frac{ε_{1}}{4 ε_{2}} + \frac{ε_{2}}{4 ε_{1}} + \frac{1}{2} = {(\sqrt[]{\frac{ε_{1}}{4 ε_{2}}} - \sqrt[]{\frac{ε_{2}}{4 ε_{1}}})}^{2} + 1 \geq 1. \end{matrix}

A kondenzátor kapacitása tehát az

a)

esetben nagyobb, mint a

b)

esetben, vagy esetleg egyenlőek, ha a két dielektrikum permittivitása ugyanakkora.