Feladat: 4118. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Filep Tibor ,  Hartstein Máté ,  Lászlóffy András ,  Lovas Lia Izabella ,  Maknics András ,  Márkus Bence Gábor ,  Mayer Martin János ,  Somogyi József 
Füzet: 2010/január, 48 - 49. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Pontrendszerek mozgásegyenletei
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/december: 4118. fizika feladat

Az ábrán látható 2m tömegű deszka vízszintes talajon súrlódásmentesen mozoghat. A deszkához erősített fonálinga hossza L=20cm, a rajta lévő (pontszerűnek tekinthető) test tömege m. A fonalat a függőlegeshez képest φ=60-kal kitérítjük, majd elengedjük.
 
 

a) Mekkora az m tömegű test sebessége, amikor a fonál függőleges?
b) Mekkora a deszka sebessége, amikor a fonál a függőlegessel 45-os szöget zár be?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. a) Jelöljük az inga nehezékének talajhoz viszonyított sebességét az inga függőleges helyzetében v-vel, a deszka sebességét pedig u-val (1. ábra)!

 

 
1. ábra

 
A munkaétel szerint
mgL(1-cos60)=12mv2+12(2m)u2,
vagyis
gL=v2+2u2.(1)

A deszkából és a fonálingából álló rendszerre nem hatnak vízszintes irányú külső erők, így a teljes lendület vízszintes komponese a mozgás során változatlan marad: mv-2mu=0, azaz
u=v2.(2)
A (2) egyenletből u-t (1)-be helyettesítve
gL=v2+2v24=32v2,v=2gL3=1,14ms
adódik; ekkora az m tömegű test sebessége a fonál függőleges helyzeténél.
b) Jelöljük az inga nehezékének az ingához viszonyított sebességét a kérdéses helyzeten v'-vel, a deszka sebességét pedig u'-vel (2. ábra)!
 

 
2. ábra

Az ingának a talajhoz viszonyított sebessége ekkor függőlegesen lefelé
v'y=v'cos45=0,707v',
illetve vízszintesen balra
v'x=v'sin45-u'=0,707v'-u'.

A 60-os és 45-os helyzet között alkalmazhatjuk a munkatételt:
mgL(cos45-cos60)=12m[(0,707v'-u')2+(0,707v')2]+12(2m)u'2,(3)
valamint (vízszintes irányban) a lendületmegmaradás tételét:
m(0,707v'-u')-2mu'=0.(4)
A fenti 2 egyenletből a deszka sebességére
u'=0,233ms
adódik.