Kezdőlap


Feladat:	4118. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Filep Tibor , Hartstein Máté , Lászlóffy András , Lovas Lia Izabella , Maknics András , Márkus Bence Gábor , Mayer Martin János , Somogyi József
Füzet:	2010/január, 48 - 49. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Feladat, Pontrendszerek mozgásegyenletei
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/december: 4118. fizika feladat

Az ábrán látható

2 m

tömegű deszka vízszintes talajon súrlódásmentesen mozoghat. A deszkához erősített fonálinga hossza

L = 20

cm, a rajta lévő (pontszerűnek tekinthető) test tömege

m

. A fonalat a függőlegeshez képest

φ = 60^{\circ}

-kal kitérítjük, majd elengedjük.

a)

Mekkora az

m

tömegű test sebessége, amikor a fonál függőleges?

b)

Mekkora a deszka sebessége, amikor a fonál a függőlegessel

45^{\circ}

-os szöget zár be?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ Jelöljük az inga nehezékének talajhoz viszonyított sebességét az inga függőleges helyzetében $v$ -vel, a deszka sebességét pedig $u$ -val (1. ábra)!

1. ábra

A munkaétel szerint

\begin{matrix} m g L (1 - cos 60^{\circ}) = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} (2 m) u^{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} g L = v^{2} + 2 u^{2} . \end{matrix}

(1)

A deszkából és a fonálingából álló rendszerre nem hatnak vízszintes irányú külső erők, így a teljes lendület vízszintes komponese a mozgás során változatlan marad:

m v - 2 m u = 0

, azaz

\begin{matrix} u = \frac{v}{2} . \end{matrix}

(2)

A (2) egyenletből

u

-t (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} g L & = v^{2} + 2 \frac{v^{2}}{4} = \frac{3}{2} v^{2}, \\ v & = \sqrt[]{\frac{2 g L}{3}} = 1, 14 \frac{m}{s} \end{matrix}

adódik; ekkora az

m

tömegű test sebessége a fonál függőleges helyzeténél.

b)

Jelöljük az inga nehezékének az ingához viszonyított sebességét a kérdéses helyzeten

v'

-vel, a deszka sebességét pedig

u'

-vel (2. ábra)!

2. ábra

Az ingának a talajhoz viszonyított sebessége ekkor függőlegesen lefelé

\begin{matrix} v'_{y} = v' cos 45^{\circ} = 0, 707 v', \end{matrix}

illetve vízszintesen balra

\begin{matrix} v'_{x} = v' sin 45^{\circ} - u' = 0, 707 v' - u' . \end{matrix}

60^{\circ}

-os és

45^{\circ}

-os helyzet között alkalmazhatjuk a munkatételt:

\begin{matrix} m g L (cos 45^{\circ} - cos 60^{\circ}) = \frac{1}{2} m [{(0, 707 v' - u')}^{2} + {(0, 707 v')}^{2}] + \frac{1}{2} (2 m) u'^{2}, \end{matrix}

(3)

valamint (vízszintes irányban) a lendületmegmaradás tételét:

\begin{matrix} m (0, 707 v' - u') - 2 m u' = 0. \end{matrix}

(4)

A fenti 2 egyenletből a deszka sebességére

\begin{matrix} u' = 0, 233 \frac{m}{s} \end{matrix}

adódik.