Kezdőlap


Feladat:	B.4186	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Böőr Katalin , Huszár Kristóf
Füzet:	2010/január, 31 - 32. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Magasságvonal, Thalesz tétel és megfordítása, Háromszögek hasonlósága
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/május: B.4186

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az 1. ábra jelöléseit felhasználva, azt kell igazolnunk, hogy

\begin{matrix} P_{A} Q_{A} = P_{B} Q_{B} = P_{C} Q_{C} . \end{matrix}

Mivel

P_{A} Q_{A} ⊥ A A_{1}

és

A A_{1}

k_{A}

körben átmérő, az

M

felezi a

P_{A} Q_{A}

szakaszt. Hasonlóan

M

felezi a

P_{B} Q_{B}

és

P_{C} Q_{C}

szakaszokat is. Elegendő tehát igazolnunk, hogy

P_{A} M = P_{B} M = P_{C} M

1. ábra

Thalész tétele alapján az

A P_{A} A_{1}

B P_{B} B_{1}

és

C P_{C} C_{1}

háromszögek derékszögűek. A magasságtétel szerint

\begin{matrix} P_{A} M = \sqrt[]{A M \cdot M A_{1}}, P_{B} M = \sqrt[]{B M \cdot M B_{1}}, \end{matrix}

valamint

\begin{matrix} P_{C} M = \sqrt[]{C M \cdot M C_{1}} . \end{matrix}

Így a bizonyítandó állítással ekvivalens, hogy

\begin{matrix} A M \cdot M A_{1} = B M \cdot M B_{1} = C M \cdot M C_{1} . \end{matrix}

Ezt hasonló háromszögek segítségével fogjuk bizonyítani.

2. ábra

A 2. ábra jelöléseit felhasználva:

A B C ∢ = β

, amiből

C_{1} C B ∢ = 90^{\circ} - β

és

C M A_{1} ∢ = A M C_{1} ∢ = β

. Hasonlóan

\begin{matrix} B_{1} M A ∢ = A_{1} M B ∢ = γ és C_{1} M B ∢ = B_{1} M C ∢ = α . \end{matrix}

Ekkor

A M C_{1} ▵ \sim C M A_{1} ▵

, ezért a megfelelő oldalak arányai egyenlők:

\begin{matrix} \frac{A M}{M C_{1}} = \frac{C M}{M A_{1}} \Leftrightarrow A M \cdot M A_{1} = C M \cdot M C_{1} . \end{matrix}

Ugyanakkor

\begin{matrix} B M C_{1} ▵ \sim C M B_{1} ▵ \Rightarrow \frac{B M}{M C_{1}} = \frac{C M}{M B_{1}} \Leftrightarrow B M \cdot M B_{1} = C M \cdot M C_{1} . \end{matrix}

Mindezekből következik, hogy

A M \cdot M A_{1} = B M \cdot M B_{1} = C M \cdot M C_{1}

, ami a bizonyítandó állítással ekvivalens.