Kezdőlap


Feladat:	B.4184	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Széplaki Zita
Füzet:	2010/január, 30. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Húrnégyszögek, Középponti és kerületi szögek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/május: B.4184

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tudjuk, hogy egy húrnégyszög bármely két szemközti szögének összege $180^{\circ}$ .

Az ábra jelöléseit használva legyen

A B F_{4} ∢ = α

. Ekkor

F_{4} B D ∢ = α

, mert ugyanakkora ívhez tartozó kerületi szögek. Legyen

D B F_{3} ∢ = β

, ekkor a fentiekhez hasonlóan

F_{3} B C ∢ = β

. Ugyanúgy

\begin{matrix} A D F_{1} ∢ = F_{1} D B ∢ = γ és B D F_{2} ∢ = F_{2} D C ∢ = δ . \end{matrix}

\begin{matrix} A D C ∢ + A B C ∢ = 180^{\circ} \Rightarrow \\ \Rightarrow & 2 α + 2 β + 2 γ + 2 δ = 180^{\circ} \Rightarrow \\ \Rightarrow & α + β + γ + δ = 90^{\circ} . \end{matrix}

Az azonos körívhez tartozó kerületi szögek egyenlősége miatt:

\begin{matrix} F_{4} F_{1} D ∢ & = F_{4} B D ∢ = α, \\ D F_{1} F_{3} ∢ & = D B F_{3} ∢ = β, \\ F_{1} F_{4} B ∢ & = F_{1} D B ∢ = γ, \\ B F_{4} F_{2} ∢ & = B D F_{2} ∢ = δ . \end{matrix}

F_{4} F_{1} M ▵

-ben

F_{4} M F_{1} ∢ = 180^{\circ} - (α + β + γ + δ)

, azaz

α + β + γ + δ = 90^{\circ}

miatt

F_{4} M F_{1} ∢ = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}

, tehát

F_{1} F_{3} ⊥ F_{2} F_{4}