Kezdőlap


Feladat:	B.4183	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Béres Ferenc , Márki Róbert
Füzet:	2010/január, 29 - 30. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Számtani sorozat, Oszthatóság, Egész számok összege
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/május: B.4183

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a számtani sorozat $a_{1} = a$ , $a_{2} = a + d$ , $a_{3} = a + 2 d$ , $...$ , $a_{n} = a + (n - 1) d$ .

\begin{matrix} S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} n = \frac{a + a + (n - 1) d}{2} n = (a + \frac{(n - 1) d}{2}) n, (n = 1,2, ...) . \end{matrix}

A feltétel szerint

S_{1} = a = b^{2}

, ahol

b

pozitív egész. Ekkor

\begin{matrix} S_{4} = (a + \frac{3 d}{2}) \cdot 4 = 4 a + 6 d = 2 (2 a + 3 d); \end{matrix}

S_{4}

négyzetszám, ezért

d

osztható 2-vel, azaz

d = 2 e

, ahol

e

pozitív egész.
Legyen

p

tetszőleges prímszám. Ekkor

\begin{matrix} S_{p} = p (a + \frac{(p - 1) d}{2}) = p (a + (p - 1) e) = p (a - e + p e) . \end{matrix}

Mivel S

_{p}

négyzetszám, azért

a - e

osztható p-vel. Az

a - e

minden prímszámmal csak akkor osztható, ha

a - e = 0

, azaz

a = e

. Ekkor

d = 2 e = 2 a

.
Tehát azt kaptuk, hogy a sorozat első tagja

a = b^{2}

, differenciája pedig

\begin{matrix} d = 2 a = 2 b^{2} . \end{matrix}

Az ilyen tulajdonságú számtani sorozatok eleget tesznek a feladat feltételének.