Kezdőlap


Feladat:	B.4164	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2010/január, 25 - 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Koszinusztétel alkalmazása, Indirekt bizonyítási mód
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/március: B.4164

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $x \leq y \leq z$ oldalakkal bíró háromszög pontosan akkor hegyesszögű, ha $x^{2} + y^{2} > z^{2}$ teljesül, amiről például a koszinusz-tétel segítségével könnyen meggyőződhetünk. Ha tehát az $a \leq b \leq c \leq d \leq e$ szakaszok közül semelyik háromból szerkesztett háromszög nem lenne hegyesszögű, akkor $a^{2} + b^{2} \leq c^{2}$ , $b^{2} + c^{2} \leq d^{2}$ , $c^{2} + d^{2} \leq e^{2}$ miatt

\begin{matrix} e^{2} \geq d^{2} + c^{2} \geq 2 c^{2} + b^{2} \geq 3 b^{2} + 2 a^{2} \geq b^{2} + 2 a b + 2 a^{2} > {(a + b)}^{2}, \end{matrix}

így

e > a + b

lenne, ami ellentmondana a háromszög-egyenlőtlenségnek.

Megjegyzés. Négy szakaszt azonban megadhatunk úgy, hogy bármelyik háromból háromszög szerkeszhető, ám azok egyike sem hegyesszögű: ilyen például

a = 1

b = \sqrt[]{2}

c = \sqrt[]{3}

d = \sqrt[]{5}