Megoldás. Létezik ilyen ponthalmaz. Tekintsük ugyanis a derékszögű koordinátarendszerben a $P_x=\left(\text{cos}x;\text{sin}x\right)$ pontokat, ezek éppen az $O$ origó körüli egység sugarú körvonal pontjai. $P_x=P_y$ pontosan akkor teljesül, ha az $x-y$ szám $2\pi$-nek egész számú többszöröse. Álljon $K$ a körvonal azon $P_x$ pontjaiból, amelyekre $x$ egész szám. Kihasználva a $\pi$ szám irracionális voltát láthatjuk, hogy ezek a pontok páronként különbözők, továbbá $P_x\in K$ esetén $P_{x+\pi }\notin K$. Ezért ha $x\mathrm{,}y$ különböző egész számok, akkor a $t_x=O{P}_x$ és $t_y=O{P}_y$ egyenesek is különbözők. Minden $x$ egész számra a $t_x$ egyenes szimmetriatengelye a korlátos $K$ halmaznak: a $P_y$ pont tükörképe éppen $P_{2x-y}$. A $K$ halmaznak tehát végtelen sok szimmetriatengelye van. Tegyük fel, hogy $K$ középpontosan szimmetrikus az $S$ pontra. Ekkor $K$ minden pontja egyben annak a körnek is pontja, melyet az egységkörből úgy kapunk meg, hogy azt $S$-re tükrözzük. Mivel két különböző körnek legfeljebb két közös pontja lehet, $K$-nak pedig végtelen sok különböző pontja van, a két kör egybeesik, vagyis $S=O$. Azt viszont már láttuk, hogy $K$ nem lehet középpontosan szimmetrikus $O$-ra, hiszen például $P_0\in K$, de $P_{\pi }\notin K$. Tehát a $K$ halmaz valamennyi feltételnek eleget tesz.